Calcolo Esempi

$f (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 {(x^{2} - 1)}^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 1$ .

$4 (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$8 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 (x^{2} - 1) (2 x + 0)$

Passaggio 1.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$8 (x^{2} - 1) (2 x)$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 (x^{2} - 1) x$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(16 x^{2} + 16 \cdot - 1) x$

Passaggio 1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$16 x^{2} x + 16 \cdot - 1 x$

Passaggio 1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$16 (x^{1} x^{2}) + 16 \cdot - 1 x$

Passaggio 1.4.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$16 x^{1 + 2} + 16 \cdot - 1 x$

Passaggio 1.4.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$16 x^{3} + 16 \cdot - 1 x$

Passaggio 1.4.3.4

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$f' (x) = 16 x^{3} - 16 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 x^{3} - 16 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{3}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $16$ .

$48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$48 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$48 x^{2} - 16 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 16$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $48 x^{2} - 16$ .

$48 x^{2} - 16$