Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)$

Passaggio 1.3.2

Riordina i termini.

$f' (x) = - x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2} \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$- (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$- (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- x^{2} \cos (x) - 2 (\sin (x) (x)) + 2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x - 2 (x (\sin (x))) + 2 \cos (x)$

Passaggio 2.4.3.3

Sottrai $2 x \sin (x)$ da $- 2 \sin (x) x$ .

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Passaggio 2.4.3.3.1

Sposta $\sin (x)$ .

$- x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 2.4.3.3.2

Sottrai $2 x \sin (x)$ da $- 2 x \sin (x)$ .

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 4 x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- x^{2} \cos (x) - 4 x \sin (x) + 2 \cos (x)$ .

$- x^{2} \cos (x) - 4 x \sin (x) + 2 \cos (x)$