Calcolo Esempi

$h (w) = {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ è $f' (g (w)) g' (w)$ dove $f (w) = w^{\frac{5}{2}}$ e $g (w) = w^{2} + 6 w + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $w^{2} + 6 w + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $w^{2} + 6 w + 8$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Passaggio 1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Passaggio 1.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Passaggio 1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Passaggio 1.6

$\frac{5}{2}$ e ${(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]$

Passaggio 1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $w^{2} + 6 w + 8$ rispetto a $w$ è $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [6 w] + \frac{d}{d w} [8]$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [6 w] + \frac{d}{d w} [8])$

Passaggio 1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + \frac{d}{d w} [6 w] + \frac{d}{d w} [8])$

Passaggio 1.9

Poiché $6$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $6 w$ rispetto a $w$ è $6 \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 6 \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [8])$

Passaggio 1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [8])$

Passaggio 1.11

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 6 + \frac{d}{d w} [8])$

Passaggio 1.12

Poiché $8$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $8$ rispetto a $w$ è $0$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 6 + 0)$

Passaggio 1.13

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1

Somma $2 w + 6$ e $0$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 6)$

Passaggio 1.13.2

Riordina i fattori di $\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 6)$ .

$f' (w) = (2 w + 6) \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ è $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ dove $f (w) = 2 w + 6$ e $g (w) = \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$(2 w + 6) \frac{d}{d w} [\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2}] + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{5}{2}$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ rispetto a $w$ è $\frac{5}{2} \frac{d}{d w} [{(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$(2 w + 6) (\frac{5}{2} \frac{d}{d w} [{(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ è $f' (g (w)) g' (w)$ dove $f (w) = w^{\frac{3}{2}}$ e $g (w) = w^{2} + 6 w + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $w^{2} + 6 w + 8$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $w^{2} + 6 w + 8$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3}{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

$\frac{3}{2}$ e ${(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 w + 6) \frac{5}{2} (\frac{3 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $\frac{3 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ per $\frac{5}{2}$ .

$(2 w + 6) \frac{3 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 5}{2 \cdot 2} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8] + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.8.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1

Moltiplica $5$ per $3$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8] + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.8.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} \frac{d}{d w} [w^{2} + 6 w + 8] + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $w^{2} + 6 w + 8$ rispetto a $w$ è $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [6 w] + \frac{d}{d w} [8]$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [6 w] + \frac{d}{d w} [8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (2 w + \frac{d}{d w} [6 w] + \frac{d}{d w} [8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.11

Poiché $6$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $6 w$ rispetto a $w$ è $6 \frac{d}{d w} [w]$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (2 w + 6 \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (2 w + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.13

Moltiplica $6$ per $1$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (2 w + 6 + \frac{d}{d w} [8]) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.14

Poiché $8$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $8$ rispetto a $w$ è $0$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (2 w + 6 + 0) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.15

Somma $2 w + 6$ e $0$ .

$(2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} (2 w + 6) + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.16

Eleva $2 w + 6$ alla potenza di $1$ .

${(2 w + 6)}^{1} (2 w + 6) \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.17

Eleva $2 w + 6$ alla potenza di $1$ .

${(2 w + 6)}^{1} {(2 w + 6)}^{1} \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.18

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(2 w + 6)}^{1 + 1} \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.19

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.19.1

Somma $1$ e $1$ .

${(2 w + 6)}^{2} \frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.19.2

${(2 w + 6)}^{2}$ e $\frac{15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$\frac{{(2 w + 6)}^{2} (15 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}})}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.19.3

Sposta $15$ alla sinistra di ${(2 w + 6)}^{2}$ .

$\frac{15 \cdot {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [2 w + 6]$

Passaggio 2.20

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 w + 6$ rispetto a $w$ è $\frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [6]$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (\frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [6])$

Passaggio 2.21

Poiché $2$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $2 w$ rispetto a $w$ è $2 \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [6])$

Passaggio 2.22

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [6])$

Passaggio 2.23

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 + \frac{d}{d w} [6])$

Passaggio 2.24

Poiché $6$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $6$ rispetto a $w$ è $0$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 + 0)$

Passaggio 2.25

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.25.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot 2$

Passaggio 2.25.2

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ e $2$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.25.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{10 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 2.25.4

Scomponi $2$ da $10 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{2 (5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}})}{2}$

Passaggio 2.26

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.26.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{2 (5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Passaggio 2.26.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{2 (5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.26.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{1}$

Passaggio 2.26.4

Dividi $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + 5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 2.27

Per scrivere $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + 5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 2.28

$5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.29

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} + 5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.30

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\frac{15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} + 20 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{4}$

Passaggio 2.31

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.31.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.31.1.1

Scomponi $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}$ da $15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} + 20 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.31.1.1.1

Scomponi $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}$ da $15 {(2 w + 6)}^{2} {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 {(2 w + 6)}^{2}) + 20 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}}{4}$

Passaggio 2.31.1.1.2

Scomponi $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}$ da $20 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 {(2 w + 6)}^{2}) + 5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}})}{4}$

Passaggio 2.31.1.1.3

Scomponi $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}}$ da $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 {(2 w + 6)}^{2}) + 5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}})$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 {(2 w + 6)}^{2} + 4 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}})}{4}$

Passaggio 2.31.1.2

Sia $u_{2} = {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di ${(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}}$ con $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.31.1.2.1

Riscrivi ${(2 w + 6)}^{2}$ come $(2 w + 6) (2 w + 6)$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 ((2 w + 6) (2 w + 6)) + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.2.2

Espandi $(2 w + 6) (2 w + 6)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.31.1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (2 w (2 w + 6) + 6 (2 w + 6)) + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (2 w (2 w) + 2 w \cdot 6 + 6 (2 w + 6)) + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (2 w (2 w) + 2 w \cdot 6 + 6 (2 w) + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.31.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.31.1.2.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (2 \cdot 2 w \cdot w + 2 w \cdot 6 + 6 (2 w) + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.2.3.1.2

Moltiplica $w$ per $w$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.31.1.2.3.1.2.1

Sposta $w$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (2 \cdot 2 (w \cdot w) + 2 w \cdot 6 + 6 (2 w) + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.2.3.1.2.2

Moltiplica $w$ per $w$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (2 \cdot 2 w^{2} + 2 w \cdot 6 + 6 (2 w) + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.2.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (4 w^{2} + 2 w \cdot 6 + 6 (2 w) + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.2.3.1.4

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (4 w^{2} + 12 w + 6 (2 w) + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.2.3.1.5

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (4 w^{2} + 12 w + 12 w + 6 \cdot 6) + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.2.3.1.6

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (4 w^{2} + 12 w + 12 w + 36) + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.2.3.2

Somma $12 w$ e $12 w$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (4 w^{2} + 24 w + 36) + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (3 (4 w^{2}) + 3 (24 w) + 3 \cdot 36 + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.31.1.2.5.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (12 w^{2} + 3 (24 w) + 3 \cdot 36 + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.2.5.2

Moltiplica $24$ per $3$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (12 w^{2} + 72 w + 3 \cdot 36 + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.2.5.3

Moltiplica $3$ per $36$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (12 w^{2} + 72 w + 108 + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.3

Scomponi $4$ da $12 w^{2} + 72 w + 108 + 4 u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.31.1.3.1

Scomponi $4$ da $12 w^{2}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2}) + 72 w + 108 + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.3.2

Scomponi $4$ da $72 w$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2}) + 4 (18 w) + 108 + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.3.3

Scomponi $4$ da $108$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2}) + 4 (18 w) + 4 \cdot 27 + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.3.4

Scomponi $4$ da $4 (3 w^{2}) + 4 (18 w)$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2} + 18 w) + 4 \cdot 27 + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.3.5

Scomponi $4$ da $4 (3 w^{2} + 18 w) + 4 \cdot 27$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2} + 18 w + 27) + 4 u_{2})}{4}$

Passaggio 2.31.1.3.6

Scomponi $4$ da $4 (3 w^{2} + 18 w + 27) + 4 u_{2}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2} + 18 w + 27 + u_{2}))}{4}$

Passaggio 2.31.1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2} + 18 w + 27 + {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{2}{2}}))}{4}$

Passaggio 2.31.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.31.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.31.1.5.1.1

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2} + 18 w + 27 + {(w^{2} + 6 w + 8)}^{1}))}{4}$

Passaggio 2.31.1.5.1.2

Semplifica.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 w^{2} + 18 w + 27 + w^{2} + 6 w + 8))}{4}$

Passaggio 2.31.1.5.2

Somma $3 w^{2}$ e $w^{2}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (4 w^{2} + 18 w + 27 + 6 w + 8))}{4}$

Passaggio 2.31.1.5.3

Somma $18 w$ e $6 w$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (4 w^{2} + 24 w + 27 + 8))}{4}$

Passaggio 2.31.1.5.4

Somma $27$ e $8$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (4 (4 w^{2} + 24 w + 35))}{4}$

Passaggio 2.31.1.6

Scomponi.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 (2 w + 5) (2 w + 7)}{4}$

Passaggio 2.31.1.7

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\frac{20 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)}{4}$

Passaggio 2.31.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.31.2.1

Scomponi $4$ da $20 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)$ .

$\frac{4 (5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7))}{4}$

Passaggio 2.31.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.31.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 (5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7))}{4 (1)}$

Passaggio 2.31.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7))}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.31.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)}{1}$

Passaggio 2.31.2.2.4

Dividi $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)$ per $1$ .

$f'' (w) = 5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)$

Passaggio 3

La derivata seconda di $h (w)$ rispetto a $w$ è $5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)$ .

$5 {(w^{2} + 6 w + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 w + 5) (2 w + 7)$