Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{2} - 11 x - \frac{6}{x^{4}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} - 11 x - \frac{6}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 11 x$ rispetto a $x$ è $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x - 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 x - 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 11$ per $1$ .

$10 x - 11 + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{6}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$10 x - 11 - 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$10 x - 11 - 6 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 1.4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4}$ .

$10 x - 11 - 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 1.4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$10 x - 11 - 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 1.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4}$ .

$10 x - 11 - 6 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 1.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$10 x - 11 - 6 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Passaggio 1.4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 x - 11 - 6 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Passaggio 1.4.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$10 x - 11 - 6 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Passaggio 1.4.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$10 x - 11 - 6 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Passaggio 1.4.7

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$10 x - 11 - 6 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Passaggio 1.4.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 x - 11 - 6 (- 4 x^{3 - 8})$

Passaggio 1.4.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$10 x - 11 - 6 (- 4 x^{- 5})$

Passaggio 1.4.8

Moltiplica $- 4$ per $- 6$ .

$10 x - 11 + 24 x^{- 5}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 x - 11 + 24 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 1.5.2

$24$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$10 x - 11 + \frac{24}{x^{5}}$

Passaggio 1.5.3

Riordina i termini.

$f' (x) = 10 x + \frac{24}{x^{5}} - 11$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 x + \frac{24}{x^{5}} - 11$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{24}{x^{5}}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$10 + 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{5}}$ come ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$10 + 24 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{5}$ .

$10 + 24 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$10 + 24 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{5}$ .

$10 + 24 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$10 + 24 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 + 24 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$10 + 24 (- x^{- 10} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$10 + 24 (- 5 x^{- 10} x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $x^{- 10}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Sposta $x^{4}$ .

$10 + 24 (- 5 (x^{4} x^{- 10})) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 + 24 (- 5 x^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2.3.7.3

Sottrai $10$ da $4$ .

$10 + 24 (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $- 5$ per $24$ .

$10 - 120 x^{- 6} + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 11$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 - 120 x^{- 6} + 0$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 - 120 \frac{1}{x^{6}} + 0$

Passaggio 2.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

$- 120$ e $\frac{1}{x^{6}}$ .

$10 + \frac{- 120}{x^{6}} + 0$

Passaggio 2.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$10 - \frac{120}{x^{6}} + 0$

Passaggio 2.5.2.3

Somma $10 - \frac{120}{x^{6}}$ e $0$ .

$10 - \frac{120}{x^{6}}$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = - \frac{120}{x^{6}} + 10$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{120}{x^{6}} + 10$ .

$- \frac{120}{x^{6}} + 10$