Calcolo Esempi

$f (x) = x + 3 \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$1 + 3 (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = 1 - 3 \sin (x)$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 3 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.2.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$0 - 3 \cos (x)$

Passaggio 1.2.3

Sottrai $3 \cos (x)$ da $0$ .

$f'' (x) = - 3 \cos (x)$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \cos (x)$ .

$- 3 \cos (x)$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 3 \cos (x) = 0$ .

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Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 3 \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 \cos (x) = 0$ e semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 \cos (x) = 0$ .

$\frac{- 3 \cos (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

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Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 \cos (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.3.1

Dividi $0$ per $- 3$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.6

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 2.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.6.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.6.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.6.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 2.6.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.9

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{π}{2}$ in $f (x) = x + 3 \cos (x)$ per trovare il valore di $y$ .

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Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) + 3 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 3 \cdot 0$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{π}{2}$ in $f (x) = x + 3 \cos (x)$ è $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{2})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.47079632$ nell'espressione.

$f'' (1.47079632) = - 3 \cos (1.47079632)$

Passaggio 5.2

La risposta finale è $- 3 \cos (1.47079632)$ .

$- 3 \cos (1.47079632)$

Passaggio 5.3

Per $1.47079632$ , la derivata seconda è $- 0.29950024$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{2})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{π}{2})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{π}{2}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.67079632$ nell'espressione.

$f'' (1.67079632) = - 3 \cos (1.67079632)$

Passaggio 6.2

La risposta finale è $- 3 \cos (1.67079632)$ .

$- 3 \cos (1.67079632)$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $1.67079632$ , la derivata seconda è $0.29950024$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{π}{2}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{π}{2}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ .

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Passaggio 8