Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{2} - 3 \sin (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 3 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$6 x - 3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$6 x - 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.1.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$6 x - 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$6 x - 3 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 3 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x - 3 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 1.1.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$6 x - 3 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 1.1.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$6 x - 3 (2 \cdot \cos (2 x))$

Passaggio 1.1.3.7

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f' (x) = 6 x - 6 \cos (2 x)$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x - 6 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (2 x)]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (2 x)]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (2 x)]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (2 x)]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$6 - 6 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$6 - 6 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$6 - 6 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$6 - 6 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 - 6 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 - 6 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 1.2.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$6 - 6 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 1.2.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$6 - 6 (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 1.2.3.7

Moltiplica $- 2$ per $- 6$ .

$f'' (x) = 6 + 12 \sin (2 x)$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 + 12 \sin (2 x)$ .

$6 + 12 \sin (2 x)$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $6 + 12 \sin (2 x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$6 + 12 \sin (2 x) = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$12 \sin (2 x) = - 6$

Passaggio 2.3

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 \sin (2 x) = - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 \sin (2 x) = - 6$ .

$\frac{12 \sin (2 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 \sin (2 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $\sin (2 x)$ per $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 6}{12}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $6$ da $- 6$ .

$\sin (2 x) = \frac{6 (- 1)}{12}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$\sin (2 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (2 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Passaggio 2.5

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{1}{2})$ è $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Passaggio 2.6

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 2.6.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6.3.2

Moltiplica $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Passaggio 2.6.3.2.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Passaggio 2.7

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 2.8.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 2.8.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{7 π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{7 π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Passaggio 2.8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Passaggio 2.8.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Passaggio 2.8.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.8.3.3.2

Moltiplica $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{7 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 2.8.3.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Passaggio 2.9

Trova il periodo di $\sin (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.9.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 2.9.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 2.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 2.9.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.10

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{12}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{12} + π$

Passaggio 2.10.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Passaggio 2.10.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1

$π$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Passaggio 2.10.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Passaggio 2.10.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.4.1

Sposta $12$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Passaggio 2.10.4.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Passaggio 2.10.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{11 π}{12}$

Passaggio 2.11

Il periodo della funzione $\sin (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{7 π}{12}$ in $f (x) = 3 x^{2} - 3 \sin (2 x)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{7 π}{12}$ nell'espressione.

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 {(\frac{7 π}{12})}^{2} - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{7 π}{12}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 (\frac{{(7 π)}^{2}}{12^{2}}) - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Passaggio 3.1.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 (\frac{7^{2} π^{2}}{12^{2}}) - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Passaggio 3.1.2.1.2

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 (\frac{49 π^{2}}{12^{2}}) - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Passaggio 3.1.2.1.3

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 (\frac{49 π^{2}}{144}) - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Passaggio 3.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.4.1

Scomponi $3$ da $144$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 (\frac{49 π^{2}}{3 (48)}) - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Passaggio 3.1.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 (\frac{49 π^{2}}{3 \cdot 48}) - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Passaggio 3.1.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Passaggio 3.1.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.5.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{2 (6)}))$

Passaggio 3.1.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 6}))$

Passaggio 3.1.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 3.1.2.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} - 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 3.1.2.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} - 3 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.8

Moltiplica $- 3 (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} + 3 (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.8.2

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}$

Passaggio 3.1.2.2

La risposta finale è $\frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}$ .

$\frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{7 π}{12}$ in $f (x) = 3 x^{2} - 3 \sin (2 x)$ è $(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$

Passaggio 3.3

Sostituisci $\frac{11 π}{12}$ in $f (x) = 3 x^{2} - 3 \sin (2 x)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{11 π}{12}$ nell'espressione.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 {(\frac{11 π}{12})}^{2} - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{11 π}{12}$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (\frac{{(11 π)}^{2}}{12^{2}}) - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $11 π$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (\frac{11^{2} π^{2}}{12^{2}}) - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $11$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (\frac{121 π^{2}}{12^{2}}) - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Passaggio 3.3.2.1.3

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (\frac{121 π^{2}}{144}) - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Passaggio 3.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Scomponi $3$ da $144$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (\frac{121 π^{2}}{3 (48)}) - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (\frac{121 π^{2}}{3 \cdot 48}) - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Passaggio 3.3.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Passaggio 3.3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.5.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{2 (6)}))$

Passaggio 3.3.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{2 \cdot 6}))$

Passaggio 3.3.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} - 3 \sin (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 3.3.2.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} - 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 3.3.2.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} - 3 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.8

Moltiplica $- 3 (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} + 3 (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.8.2

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}$

Passaggio 3.3.2.2

La risposta finale è $\frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}$ .

$\frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $\frac{11 π}{12}$ in $f (x) = 3 x^{2} - 3 \sin (2 x)$ è $(\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{7 π}{12}) \cup (\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12}) \cup (\frac{11 π}{12}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.73259571$ nell'espressione.

$f'' (1.73259571) = 6 + 12 \sin (2 (1.73259571))$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $1.73259571$ .

$f'' (1.73259571) = 6 + 12 \sin (3.46519142)$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $6 + 12 \sin (3.46519142)$ .

$6 + 12 \sin (3.46519142)$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $1.73259571$ , la derivata seconda è $2.18423278$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ .

Crescente su $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.35619449$ nell'espressione.

$f'' (2.35619449) = 6 + 12 \sin (2 (2.35619449))$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $2$ per $2.35619449$ .

$f'' (2.35619449) = 6 + 12 \sin (4.71238898)$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $6 + 12 \sin (4.71238898)$ .

$6 + 12 \sin (4.71238898)$

Passaggio 6.3

Per $2.35619449$ , la derivata seconda è $- 6$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ .

Decrescente su $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.97979326$ nell'espressione.

$f'' (2.97979326) = 6 + 12 \sin (2 (2.97979326))$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $2$ per $2.97979326$ .

$f'' (2.97979326) = 6 + 12 \sin (5.95958653)$

Passaggio 7.2.2

La risposta finale è $6 + 12 \sin (5.95958653)$ .

$6 + 12 \sin (5.95958653)$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $2.97979326$ , la derivata seconda è $2.18423278$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$ .

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$

Passaggio 9