Calcolo Esempi

$f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$12 x + 6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$12 x + 6 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.1.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$12 x + 6 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 1.1.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 1.1.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$12 x + 6 (2 \cdot \cos (2 x))$

Passaggio 1.1.3.7

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f' (x) = 12 x + 12 \cos (2 x)$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x + 12 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$12 + 12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$12 + 12 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$12 + 12 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 1.2.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 1.2.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$12 + 12 (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 1.2.3.7

Moltiplica $- 2$ per $12$ .

$f'' (x) = 12 - 24 \sin (2 x)$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 - 24 \sin (2 x)$ .

$12 - 24 \sin (2 x)$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $12 - 24 \sin (2 x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$12 - 24 \sin (2 x) = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 24 \sin (2 x) = - 12$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 24$ ciascun termine in $- 24 \sin (2 x) = - 12$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 24$ ciascun termine in $- 24 \sin (2 x) = - 12$ .

$\frac{- 24 \sin (2 x)}{- 24} = \frac{- 12}{- 24}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 24 \sin (2 x)}{- 24} = \frac{- 12}{- 24}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $\sin (2 x)$ per $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 12}{- 24}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $- 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $- 12$ da $- 12$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 12 (1)}{- 24}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $- 12$ da $- 24$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 12 \cdot 1}{- 12 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (2 x) = \frac{- 12 \cdot 1}{- 12 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 2.5

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Passaggio 2.6

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 2.6.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6.3.2

Moltiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 2.6.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Passaggio 2.7

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 2.8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 2.8.1.2

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 2.8.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 2.8.1.4

Sottrai $π$ da $π \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.4.1

Riordina $π$ e $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 2.8.1.4.2

Sottrai $π$ da $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Passaggio 2.8.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 2.8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 2.8.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 2.8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.8.2.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 2.8.2.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Passaggio 2.9

Trova il periodo di $\sin (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.9.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 2.9.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 2.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 2.9.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.10

Il periodo della funzione $\sin (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{π}{12}$ in $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{12}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{12}) = 6 {(\frac{π}{12})}^{2} + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{π}{12}$ .

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Passaggio 3.1.2.1.2

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{144}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Passaggio 3.1.2.1.3

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.3.1

Scomponi $6$ da $144$ .

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{6 (24)}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Passaggio 3.1.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{6 \cdot 24}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Passaggio 3.1.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Passaggio 3.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{π}{2 (6)}))$

Passaggio 3.1.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 6}))$

Passaggio 3.1.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (\frac{π}{6})$

Passaggio 3.1.2.1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.6.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 2 (3) (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2}))$

Passaggio 3.1.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 3$

Passaggio 3.1.2.2

La risposta finale è $\frac{π^{2}}{24} + 3$ .

$\frac{π^{2}}{24} + 3$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{π}{12}$ in $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ è $(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $\frac{5 π}{12}$ in $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{12}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 {(\frac{5 π}{12})}^{2} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5 π}{12}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{{(5 π)}^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{5^{2} π^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Passaggio 3.3.2.1.3

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{144}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Passaggio 3.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Scomponi $6$ da $144$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{6 (24)}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{6 \cdot 24}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Passaggio 3.3.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Passaggio 3.3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.5.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (6)}))$

Passaggio 3.3.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}))$

Passaggio 3.3.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (\frac{5 π}{6})$

Passaggio 3.3.2.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (\frac{π}{6})$

Passaggio 3.3.2.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.8.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 2 (3) (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2}))$

Passaggio 3.3.2.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 3$

Passaggio 3.3.2.2

La risposta finale è $\frac{25 π^{2}}{24} + 3$ .

$\frac{25 π^{2}}{24} + 3$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $\frac{5 π}{12}$ in $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ è $(\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3), (\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{π}{12}) \cup (\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}) \cup (\frac{5 π}{12}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{12})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.16179938$ nell'espressione.

$f'' (0.16179938) = 12 - 24 \sin (2 (0.16179938))$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $0.16179938$ .

$f'' (0.16179938) = 12 - 24 \sin (0.32359877)$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $12 - 24 \sin (0.32359877)$ .

$12 - 24 \sin (0.32359877)$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $0.16179938$ , la derivata seconda è $4.36846556$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, \frac{π}{12})$ .

Crescente su $(- \infty, \frac{π}{12})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.78539816$ nell'espressione.

$f'' (0.78539816) = 12 - 24 \sin (2 (0.78539816))$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $2$ per $0.78539816$ .

$f'' (0.78539816) = 12 - 24 \sin (1.57079632)$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $12 - 24 \sin (1.57079632)$ .

$12 - 24 \sin (1.57079632)$

Passaggio 6.3

Per $0.78539816$ , la derivata seconda è $- 12$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12})$ .

Decrescente su $(\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{5 π}{12}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.40899693$ nell'espressione.

$f'' (1.40899693) = 12 - 24 \sin (2 (1.40899693))$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $2$ per $1.40899693$ .

$f'' (1.40899693) = 12 - 24 \sin (2.81799387)$

Passaggio 7.2.2

La risposta finale è $12 - 24 \sin (2.81799387)$ .

$12 - 24 \sin (2.81799387)$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $1.40899693$ , la derivata seconda è $4.36846556$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{5 π}{12}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{5 π}{12}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3), (\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$ .

$(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3), (\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$

Passaggio 9