Calcolo Esempi

$y = 1 - 9 x^{2}$ , $y = 0$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} {(f (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = - 9 x^{2} + 1$

Passaggio 2

Semplifica l'integrando.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${(- 9 x^{2} + 1)}^{2}$ come $(- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$ .

$V = (- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$

Passaggio 2.2

Espandi $(- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2} + 1) + 1 (- 9 x^{2} + 1)$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2} + 1)$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{2} x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$V = - 9 \cdot (- 9 (x^{2} x^{2})) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{2 + 2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{4}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $- 9$ per $- 9$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- 9 x^{2}$ per $1$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 1$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $9 x^{2}$ da $- 9 x^{2}$ .

$V = 81 x^{4} - 18 x^{2} + 1$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$V = π (\int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} 81 x^{4} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Passaggio 4

Poiché $81$ è costante rispetto a $x$ , sposta $81$ fuori dall'integrale.

$V = π (81 \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} x^{4} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (81 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Passaggio 6

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Passaggio 7

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 18$ fuori dall'integrale.

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Passaggio 9

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 11.1

Calcola $\frac{x^{5}}{5}$ per $0.\overline{3}$ e per $- 0.\overline{3}$ .

$V = π (81 ((\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5}) - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

Passaggio 11.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $0.\overline{3}$ e per $- 0.\overline{3}$ .

$V = π (81 (\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

Passaggio 11.3

Calcola $x$ per $0.\overline{3}$ e per $- 0.\overline{3}$ .

$V = π (81 (\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Eleva $0.\overline{3}$ alla potenza di $5$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.2

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $5$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} - \frac{- 0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + \frac{0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + 1 (\frac{0.00411522}{5})) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.5

Moltiplica $\frac{0.00411522}{5}$ per $1$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + \frac{0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (81 (\frac{0.00411522 + 0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.7

Somma $0.00411522$ e $0.00411522$ .

$V = π (81 (\frac{0.00823045}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.8

$81$ e $\frac{0.00823045}{5}$ .

$V = π (\frac{81 \cdot 0.00823045}{5} - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.9

Moltiplica $81$ per $0.00823045$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.10

Eleva $0.\overline{3}$ alla potenza di $3$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.11

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $3$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} - \frac{- 0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + \frac{0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.13

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + 1 (\frac{0.03703703}{3})) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.14

Moltiplica $\frac{0.03703703}{3}$ per $1$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + \frac{0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 \frac{0.03703703 + 0.03703703}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.16

Somma $0.03703703$ e $0.03703703$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.07407407}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.17

$- 18$ e $\frac{0.07407407}{3}$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} + \frac{- 18 \cdot 0.07407407}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.18

Moltiplica $- 18$ per $0.07407407$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} + \frac{- 1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - \frac{1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.20

Per scrivere $\frac{0.66666666}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.21

Per scrivere $- \frac{1.33333333}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.22

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.22.1

Moltiplica $\frac{0.66666666}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.22.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.22.3

Moltiplica $\frac{1.33333333}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333 \cdot 5}{3 \cdot 5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.22.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.23

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3 - 1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.24

Moltiplica $0.66666666$ per $3$ .

$V = π (\frac{2 - 1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.25

Moltiplica $- 1.33333333$ per $5$ .

$V = π (\frac{2 - 6.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.26

Sottrai $6.66666666$ da $2$ .

$V = π (\frac{- 4.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.27

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

Passaggio 11.4.28

Somma $0.\overline{3}$ e $0.\overline{3}$ .

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{6})$

Passaggio 11.4.29

Per scrivere $0.\overline{6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{15}{15}$ .

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{6} \cdot \frac{15}{15})$

Passaggio 11.4.30

$0.\overline{6}$ e $\frac{15}{15}$ .

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + \frac{0.\overline{6} \cdot 15}{15})$

Passaggio 11.4.31

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{- 4.66666666 + 0.\overline{6} \cdot 15}{15})$

Passaggio 11.4.32

Moltiplica $0.\overline{6}$ per $15$ .

$V = π (\frac{- 4.66666666 + 10}{15})$

Passaggio 11.4.33

Somma $- 4.66666666$ e $10$ .

$V = π (\frac{5.33333333}{15})$

Passaggio 11.4.34

$π$ e $\frac{5.33333333}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 5.33333333}{15}$

Passaggio 11.4.35

Moltiplica $π$ per $5.33333333$ .

$V = \frac{16.75516081}{15}$

Passaggio 12

Dividi $16.75516081$ per $15$ .

$V = 1.11701072$

Passaggio 13