Calcolo Esempi

$\cos (4 y) = x$ , $(0, \frac{π}{8})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = \frac{π}{8}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\cos (4 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 y$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 1.2.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 y$ .

$- \sin (4 y) \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (4 y) (4 \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 \sin (4 y) \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- 4 \sin (4 y) y'$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 4 \sin (4 y) y' = 1$

Passaggio 1.5

Dividi per $- 4 \sin (4 y)$ ciascun termine in $- 4 \sin (4 y) y' = 1$ e semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Dividi per $- 4 \sin (4 y)$ ciascun termine in $- 4 \sin (4 y) y' = 1$ .

$\frac{- 4 \sin (4 y) y'}{- 4 \sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

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Passaggio 1.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 \sin (4 y) y'}{- 4 \sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Passaggio 1.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin (4 y) y'}{\sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune di $\sin (4 y)$ .

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Passaggio 1.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (4 y) y'}{\sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.5.3.1

Frazioni separate.

$y' = \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{\sin (4 y)}$

Passaggio 1.5.3.2

Converti da $\frac{1}{\sin (4 y)}$ a $\csc (4 y)$ .

$y' = \frac{1}{- 4} \csc (4 y)$

Passaggio 1.5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{1}{4} \csc (4 y)$

Passaggio 1.5.3.4

$\csc (4 y)$ e $\frac{1}{4}$ .

$y' = - \frac{\csc (4 y)}{4}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (4 y)}{4}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 0$ e $y = \frac{π}{8}$ .

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Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$- \frac{\csc (4 y)}{4}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $\frac{π}{8}$ nell'espressione.

$- \frac{\csc (4 (\frac{π}{8}))}{4}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.7.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 1.7.3.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$- \frac{\csc (4 \frac{π}{4 (2)})}{4}$

Passaggio 1.7.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\csc (4 \frac{π}{4 \cdot 2})}{4}$

Passaggio 1.7.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\csc (\frac{π}{2})}{4}$

Passaggio 1.7.3.2

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{1}{4}$ e un punto dato $(0, \frac{π}{8})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{8}) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{π}{8} = - \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - \frac{π}{8} = - \frac{1}{4} \cdot x$

Passaggio 2.3.1.2

$x$ e $\frac{1}{4}$ .

$y - \frac{π}{8} = - \frac{x}{4}$

Passaggio 2.3.2

Somma $\frac{π}{8}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{π}{8}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{1}{4} x) + \frac{π}{8}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{4} x + \frac{π}{8}$

Passaggio 3