Calcolo Esempi

$3 e^{x} \cos (x)$ , $(0, 3)$

Passaggio 1

Scrivi $3 e^{x} \cos (x)$ come un'equazione.

$y = 3 e^{x} \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 3$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{x} \cos (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$3 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 2.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$3 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (e^{x} (- \sin (x))) + 3 (\cos (x) e^{x})$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 e^{x} \sin (x) + 3 \cos (x) e^{x}$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$- 3 e^{x} \sin (x) + 3 e^{x} \cos (x)$

Passaggio 2.6

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$- 3 e^{0} \sin (0) + 3 e^{0} \cos (0)$

Passaggio 2.7

Semplifica.

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Passaggio 2.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.7.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- 3 \cdot 1 \sin (0) + 3 e^{0} \cos (0)$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 \sin (0) + 3 e^{0} \cos (0)$

Passaggio 2.7.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 3 \cdot 0 + 3 e^{0} \cos (0)$

Passaggio 2.7.1.4

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$0 + 3 e^{0} \cos (0)$

Passaggio 2.7.1.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 3 \cdot 1 \cos (0)$

Passaggio 2.7.1.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$0 + 3 \cos (0)$

Passaggio 2.7.1.7

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Passaggio 2.7.1.8

Moltiplica $3$ per $1$ .

$0 + 3$

Passaggio 2.7.2

Somma $0$ e $3$ .

$3$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Usa il coefficiente angolare $3$ e un punto dato $(0, 3)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = 3 \cdot (x - (0))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 3 = 3 \cdot (x + 0)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - 3 = 3 x$

Passaggio 3.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 3 x + 3$

Passaggio 4