Calcolo Esempi

$\ln (x^{2} - 8)$ , $(3, 0)$

Passaggio 1

Scrivi $\ln (x^{2} - 8)$ come un'equazione.

$y = \ln (x^{2} - 8)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 3$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} - 8$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 8$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8])$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} (2 x + 0)$

Passaggio 2.2.4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} (2 x)$

Passaggio 2.2.4.2

$2$ e $\frac{1}{x^{2} - 8}$ .

$\frac{2}{x^{2} - 8} x$

Passaggio 2.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} - 8}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 8}$

Passaggio 2.3

Calcola la derivata per $x = 3$ .

$\frac{2 (3)}{{(3)}^{2} - 8}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6}{3^{2} - 8}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.4.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{6}{9 - 8}$

Passaggio 2.4.2.2

Sottrai $8$ da $9$ .

$\frac{6}{1}$

Passaggio 2.4.3

Dividi $6$ per $1$ .

$6$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Usa il coefficiente angolare $6$ e un punto dato $(3, 0)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 6 \cdot (x - (3))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y + 0 = 6 \cdot (x - 3)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = 6 \cdot (x - 3)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $6 \cdot (x - 3)$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 6 x + 6 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $6$ per $- 3$ .

$y = 6 x - 18$

Passaggio 4