Calcolo Esempi

$f (t) = e^{\sin (t)} \cos (t)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

Passaggio 1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${t | t \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (t)$ è continua su $[0, \frac{π}{2}]$ .

$f (t)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (t)} \cos (t) d t)$

Passaggio 5

Sia $u = \sin (t)$ . Allora $d u = \cos (t) d t$ , quindi $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = \sin (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $\sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Passaggio 5.1.2

La derivata di $\sin (t)$ rispetto a $t$ è $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Passaggio 5.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = \sin (t)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Passaggio 5.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 5.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = \sin (t)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 5.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{1} e^{u} d u)$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e^{u}]_{0}^{1})$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Calcola $e^{u}$ per $1$ e per $0$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} ((e) - e^{0})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica.

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - e^{0})$

Passaggio 7.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1 \cdot 1)$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1)$

Passaggio 8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} + 0} \cdot (e - 1)$

Passaggio 8.2

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2}} \cdot (e - 1)$

Passaggio 9

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$A (t) = 1 (\frac{2}{π}) \cdot (e - 1)$

Passaggio 10

Moltiplica $\frac{2}{π}$ per $1$ .

$A (t) = \frac{2}{π} \cdot (e - 1)$

Passaggio 11

Applica la proprietà distributiva.

$A (t) = \frac{2}{π} \cdot e + \frac{2}{π} \cdot - 1$

Passaggio 12

$\frac{2}{π}$ e $e$ .

$A (t) = \frac{2 e}{π} + \frac{2}{π} \cdot - 1$

Passaggio 13

Moltiplica $\frac{2}{π} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

$\frac{2}{π}$ e $- 1$ .

$A (t) = \frac{2 e}{π} + \frac{2 \cdot - 1}{π}$

Passaggio 13.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$A (t) = \frac{2 e}{π} + \frac{- 2}{π}$

Passaggio 14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (t) = \frac{2 e}{π} - \frac{2}{π}$

Passaggio 15