Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt[3]{x}$ ; $[1, 8]$

Passaggio 1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[1, 8]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x)$

Passaggio 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8})$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Calcola $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ per $8$ e per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.5

$\frac{3}{4}$ e $16$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.6

Moltiplica $3$ per $16$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.7

Elimina il fattore comune di $48$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.7.1

Scomponi $4$ da $48$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.7.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.7.2.4

Dividi $12$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Passaggio 7.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4})$

Passaggio 7.2.10

Per scrivere $12$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

Passaggio 7.2.11

$12$ e $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

Passaggio 7.2.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12 \cdot 4 - 3}{4})$

Passaggio 7.2.13

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.2.13.1

Moltiplica $12$ per $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{48 - 3}{4})$

Passaggio 7.2.13.2

Sottrai $3$ da $48$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{45}{4})$

Passaggio 8

Sottrai $1$ da $8$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

Passaggio 9

Moltiplica $\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$ .

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Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{45}{4}$ .

$A (x) = \frac{45}{7 \cdot 4}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $7$ per $4$ .

$A (x) = \frac{45}{28}$

Passaggio 10