Calcolo Esempi

$\frac{2 \ln^{4} (x)}{x}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{2 \ln^{4} (x)}{x}$ come funzione.

$f (x) = \frac{2 \ln^{4} (x)}{x}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{2 \ln^{4} (x)}{x} d x$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{\ln^{4} (x)}{x} d x$

Passaggio 5

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 5.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$2 \int u^{4} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ come $2 (\frac{1}{5}) u^{5} + C$ .

$2 (\frac{1}{5}) u^{5} + C$

Passaggio 7.2

$2$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} u^{5} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{2}{5} \ln^{5} (x) + C$

Passaggio 9

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{2 \ln^{4} (x)}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} \ln^{5} (x) + C$