Calcolo Esempi

$| 2 x - 1 |$

Passaggio 1

Scrivi $| 2 x - 1 |$ come funzione.

$f (x) = | 2 x - 1 |$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int | 2 x - 1 | d x$

Passaggio 4

Imposta l'argomento nel valore assoluto uguale a $0$ per trovare i valori potenziali in corrispondenza dei quali dividere la soluzione.

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $x$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Crea degli intervalli intorno alle soluzioni per scoprire dove il valore $2 x - 1$ è negativo e positivo.

$(- \infty, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, \infty)$

Passaggio 7

Sostituisci un valore da ogni intervallo in $2 x - 1$ per scoprire dove l'espressione è negativa o positiva.

$\begin{array}{c} Intervallo & Segno sull'intervallo \\ (- \infty, \frac{1}{2}) & - \\ (\frac{1}{2}, \infty) & + \end{array}$

Passaggio 8

Integra l'argomento del valore assoluto.

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Passaggio 8.1

Imposta l'integrale con l'argomento del valore assoluto.

$\int 2 x - 1 d x$

Passaggio 8.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 8.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 8.4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Passaggio 8.5

Applica la regola costante.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Passaggio 8.6

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Passaggio 8.7

Semplifica.

$x^{2} - x + C$

Passaggio 9

Sugli intervalli in cui l'argomento è negativo, moltiplica la soluzione dell'integrale per $- 1$ .

${\begin{cases} - (x^{2} - x + C) & x \leq \frac{1}{2} \\ x^{2} - x + C & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Passaggio 10

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = | 2 x - 1 |$ .

$F (x) =$ ${\begin{cases} - (x^{2} - x + C) & x \leq \frac{1}{2} \\ x^{2} - x + C & x > \frac{1}{2} \end{cases}$