Calcolo Esempi

$16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ come funzione.

$f (x) = 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 4

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , sposta $16$ fuori dall'integrale.

$16 \int \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 5

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (x)$ come $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$16 \int \sin^{2} (x) \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 6

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (x)$ come $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$16 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ per $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$16 \int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{2 \cdot 2} d x$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$16 \int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{4} d x$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$16 (\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{4}$ e $16$ .

$\frac{16}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Passaggio 9.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Passaggio 9.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{1} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Passaggio 9.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$4 \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Passaggio 10

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$4 \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

Passaggio 12

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 12.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 12.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 12.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 12.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 12.1.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 12.2

Espandi $(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \int 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 12.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 12.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 12.2.4

Sposta $\cos (u_{1})$ .

$2 \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 12.2.5

Moltiplica $1$ per $1$ .

$2 \int 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 12.2.6

Moltiplica $\cos (u_{1})$ per $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 12.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 12.2.8

Metti in evidenza il valore negativo.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 12.2.9

Eleva $\cos (u_{1})$ alla potenza di $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 12.2.10

Eleva $\cos (u_{1})$ alla potenza di $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 12.2.11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Passaggio 12.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 12.2.13

Sottrai $\cos (u_{1})$ da $\cos (u_{1})$ .

$2 \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 12.2.14

Sottrai $\cos^{2} (u_{1})$ da $0$ .

$2 \int 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 13

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 (\int d u_{1} + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 14

Applica la regola costante.

$2 (u_{1} + C + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 15

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (u_{1} + C - \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 16

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (u_{1})$ come $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 17

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Passaggio 18

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Passaggio 19

Applica la regola costante.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Passaggio 20

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 20.1

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 20.1.1

Differenzia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 20.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 20.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 20.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 20.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Passaggio 21

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Passaggio 22

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Passaggio 23

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)))$

Passaggio 24

Semplifica.

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Passaggio 24.1

Semplifica.

$2 (u_{1} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Passaggio 24.2

Semplifica.

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Passaggio 24.2.1

Per scrivere $u_{1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (u_{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Passaggio 24.2.2

$u_{1}$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{u_{1} \cdot 2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Passaggio 24.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{u_{1} \cdot 2 - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Passaggio 24.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$2 (\frac{2 \cdot u_{1} - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Passaggio 24.2.5

Sottrai $u_{1}$ da $2 u_{1}$ .

$2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Passaggio 25

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 25.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Passaggio 25.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

Passaggio 25.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Passaggio 26

Semplifica.

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Passaggio 26.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 26.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Passaggio 26.1.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$2 (x - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Passaggio 26.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 (x - \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Passaggio 26.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x + 2 (- \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Passaggio 26.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 26.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sin (4 x)}{4}$ nel numeratore.

$2 x + 2 \frac{- \sin (4 x)}{4} + C$

Passaggio 26.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 x + 2 \frac{- \sin (4 x)}{2 (2)} + C$

Passaggio 26.3.3

Elimina il fattore comune.

$2 x + 2 \frac{- \sin (4 x)}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 26.3.4

Riscrivi l'espressione.

$2 x + \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

Passaggio 26.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 x - \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Passaggio 27

Riordina i termini.

$2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x) + C$

Passaggio 28

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x) + C$