Calcolo Esempi

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Scrivi $x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$ come funzione.

$f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4

Sia $x = \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ è positivo.

$\int \tan^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Semplifica $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

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Passaggio 5.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int \tan^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 6

Moltiplica $\sec (t)$ per $\sec^{2} (t)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta $\sec^{2} (t)$ .

$\int \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\sec^{2} (t)$ per $\sec (t)$ .

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Passaggio 6.2.1

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Passaggio 6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \tan^{3} (t) {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Passaggio 6.3

Somma $2$ e $1$ .

$\int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 7

Metti in evidenza $\tan^{2} (t)$ .

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 8

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 9

Sia $u = \sec (t)$ . Allora $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , quindi $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 9.1

Sia $u = \sec (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 9.1.1

Differenzia $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Passaggio 9.1.2

La derivata di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Passaggio 10

Moltiplica $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Riscrivi $- 1 u^{2}$ come $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 11.2

Moltiplica $u^{2}$ per $u^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 11.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Passaggio 11.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 12

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Passaggio 13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Passaggio 14

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Passaggio 15

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Passaggio 16

Semplifica.

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Passaggio 16.1

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Passaggio 16.2

Semplifica.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Passaggio 17

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 17.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (t)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t) + C$

Passaggio 17.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (x)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (x)) + C$

Passaggio 18

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (x)) + C$