Calcolo Esempi

$f (x) = \cos (4 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \sin (4 x) \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f' (x) = - 4 \sin (4 x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 \sin (4 x)$ .

$- 4 \sin (4 x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 \sin (4 x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 \sin (4 x) = 0$

Passaggio 2.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \sin (4 x) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \sin (4 x) = 0$ .

$\frac{- 4 \sin (4 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 \sin (4 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $\sin (4 x)$ per $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Dividi $0$ per $- 4$ .

$\sin (4 x) = 0$

Passaggio 2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$4 x = \arcsin (0)$

Passaggio 2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$4 x = 0$

Passaggio 2.5

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x = 0$

Passaggio 2.6

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$4 x = π - 0$

Passaggio 2.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$4 x = π + 0$

Passaggio 2.7.1.2

Somma $π$ e $0$ .

$4 x = π$

Passaggio 2.7.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = π$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Passaggio 2.7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Passaggio 2.7.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 2.8

Trova il periodo di $\sin (4 x)$ .

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Passaggio 2.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci $b$ con $4$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Passaggio 2.8.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Passaggio 2.8.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Passaggio 2.8.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.8.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.8.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{2}$

Passaggio 2.9

Il periodo della funzione $\sin (4 x)$ è $\frac{π}{2}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{π}{2}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.10

Consolida le risposte.

$x = \frac{π n}{4}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\cos (4 x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\cos (4 (0))$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\cos (0)$

Passaggio 4.1.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$1$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{π}{4}$ a $x$ .

$\cos (4 (\frac{π}{4}))$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (4 \frac{π}{4})$

Passaggio 4.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos (π)$

Passaggio 4.2.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \cos (0)$

Passaggio 4.2.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0 + \frac{π n}{2}, 1), (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, - 1)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5