Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 8 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ come ${(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{3} + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} + 8 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} + 8 x$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta ${(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 8 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Passaggio 1.1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x])$

Passaggio 1.1.10

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.12

Moltiplica $8$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8)$

Passaggio 1.1.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.13.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8)$ .

$(3 x^{2} + 8) \frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.13.2

Moltiplica $3 x^{2} + 8$ per $\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = - 8$

Passaggio 2.3.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = - 8$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 8}{3}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 8}{3}$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{3}$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} = - \frac{8}{3}$

Passaggio 2.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- \frac{8}{3}}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{8}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{8}{3}}$

Passaggio 2.3.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \sqrt{\frac{8}{3}}$

Passaggio 2.3.4.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{8}{3}}$ come $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.3.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.4.1

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.4.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.3.4.4.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.3.4.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.3.4.5

Moltiplica $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 2.3.4.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.6.1

Moltiplica $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.3.4.6.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.3.4.6.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 2.3.4.6.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.3.4.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.3.4.6.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.3.4.6.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.4.6.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.4.6.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.6.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.4.6.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 2.3.4.6.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.3.4.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.7.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Passaggio 2.3.4.7.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Passaggio 2.3.4.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.8.1

$i$ e $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{6})}{3}$

Passaggio 2.3.4.8.2

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Passaggio 2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Passaggio 2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{2 i \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 \sqrt{{(x^{3} + 8 x)}^{1}}}$

Passaggio 3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 \sqrt{x^{3} + 8 x}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{3 x^{2} + 8}{2 \sqrt{x^{3} + 8 x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{x^{3} + 8 x} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x^{3} + 8 x})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ come ${(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Semplifica ${(2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {({(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 {(x^{3} + 8 x)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.4

Semplifica.

$4 (x^{3} + 8 x) = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{3} + 4 (8 x) = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.6

Moltiplica $8$ per $4$ .

$4 x^{3} + 32 x = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x^{3} + 32 x = 0$

Passaggio 3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} + 32 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 32 x = 0$

Passaggio 3.3.3.1.2

Scomponi $4 x$ da $32 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (8) = 0$

Passaggio 3.3.3.1.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (8)$ .

$4 x (x^{2} + 8) = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 3.3.3.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.3.3.4

Imposta $x^{2} + 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.4.1

Imposta $x^{2} + 8$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 3.3.3.4.2

Risolvi $x^{2} + 8 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.4.2.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 8$

Passaggio 3.3.3.4.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

Passaggio 3.3.3.4.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.4.2.3.1

Riscrivi $- 8$ come $- 1 (8)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

Passaggio 3.3.3.4.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (8)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

Passaggio 3.3.3.4.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

Passaggio 3.3.3.4.2.3.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.4.2.3.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

Passaggio 3.3.3.4.2.3.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Passaggio 3.3.3.4.2.3.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

Passaggio 3.3.3.4.2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.3.4.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.4.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 i \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.3.4.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 i \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.3.4.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x^{2} + 8) = 0$ vera.

$x = 0, 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Passaggio 3.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} + 8 x < 0$

Passaggio 3.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{3} + 8 x = 0$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $x$ da $x^{3} + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 8 x = 0$

Passaggio 3.5.2.2

Scomponi $x$ da $8 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot 8 = 0$

Passaggio 3.5.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot 8$ .

$x (x^{2} + 8) = 0$

Passaggio 3.5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 3.5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5.5

Imposta $x^{2} + 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Imposta $x^{2} + 8$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 3.5.5.2

Risolvi $x^{2} + 8 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.2.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 8$

Passaggio 3.5.5.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

Passaggio 3.5.5.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.2.3.1

Riscrivi $- 8$ come $- 1 (8)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

Passaggio 3.5.5.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (8)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

Passaggio 3.5.5.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

Passaggio 3.5.5.2.3.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.2.3.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

Passaggio 3.5.5.2.3.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Passaggio 3.5.5.2.3.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

Passaggio 3.5.5.2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

Passaggio 3.5.5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 i \sqrt{2}$

Passaggio 3.5.5.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 i \sqrt{2}$

Passaggio 3.5.5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Passaggio 3.5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x^{2} + 8) = 0$ vera.

$x = 0, 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Passaggio 3.5.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < 0$

Passaggio 3.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 4

Risolvi $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\sqrt{{(0)}^{3} + 8 (0)}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\sqrt{0 + 8 (0)}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $8$ per $0$ .

$\sqrt{0 + 0}$

Passaggio 4.1.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$\sqrt{0}$

Passaggio 4.1.2.4

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.1.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$0$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(0, 0)$

Passaggio 5