Calcolo Esempi

$f (x) = \tan (\frac{π x}{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = \frac{π x}{2}$ .

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Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{π x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{π x}{2}$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{π}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.2

$\frac{π}{2}$ e $\sec^{2} (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Dividi per $π$ ciascun termine in $π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Dividi per $π$ ciascun termine in $π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{0}{π}$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{0}{π}$

Passaggio 2.3.1.2.1.2

Dividi $\sec^{2} (\frac{π x}{2})$ per $1$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) = \frac{0}{π}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $π$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$

Passaggio 2.3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm 0$

Passaggio 2.3.3.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$\sec (\frac{π x}{2}) = 0$

Passaggio 2.3.4

L'intervallo della secante è $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Poiché $0$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\sec (\frac{π x}{2})$ in modo che sia uguale a $\frac{π}{2} + π n$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Passaggio 3.2.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.2.1

Scomponi $π$ da $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Semplifica $\frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ .

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Passaggio 3.2.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{2}{π} (π n)$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{2}{π} (π n)$

Passaggio 3.2.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{1}{π} π + \frac{2}{π} (π n)$

Passaggio 3.2.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{1}{π} π + \frac{2}{π} (π n)$

Passaggio 3.2.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 1 + \frac{2}{π} (π n)$

Passaggio 3.2.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $π$ .

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Passaggio 3.2.2.2.1.4.1

Scomponi $π$ da $π n$ .

$x = 1 + \frac{2}{π} (π (n))$

Passaggio 3.2.2.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$x = 1 + \frac{2}{π} (π n)$

Passaggio 3.2.2.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$x = 1 + 2 n$

Passaggio 3.2.3

Riordina $1$ e $2 n$ .

$x = 2 n + 1$

Passaggio 3.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

${x | x = 2 n + 1}$ $n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

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