Calcolo Esempi

$f (x) = | 3 x - 4 |$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = 3 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 4$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 + 0)$

Passaggio 1.1.2.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} \cdot 3$

Passaggio 1.1.2.6.2

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |}$ e $3$ .

$\frac{(3 x - 4) \cdot 3}{| 3 x - 4 |}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Sposta $3$ alla sinistra di $3 x - 4$ .

$\frac{3 \cdot (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (3 x) + 3 \cdot - 4}{| 3 x - 4 |}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{9 x + 3 \cdot - 4}{| 3 x - 4 |}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$\frac{9 x - 12}{| 3 x - 4 |}$

Passaggio 1.1.3.3

Scomponi $3$ da $9 x - 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Scomponi $3$ da $9 x$ .

$\frac{3 (3 x) - 12}{| 3 x - 4 |}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Scomponi $3$ da $- 12$ .

$\frac{3 (3 x) + 3 (- 4)}{| 3 x - 4 |}$

Passaggio 1.1.3.3.3

Scomponi $3$ da $3 (3 x) + 3 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 (3 x - 4) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (3 x - 4) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (3 x - 4) = 0$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (3 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.1.2.1.2

Dividi $3 x - 4$ per $1$ .

$3 x - 4 = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$3 x - 4 = 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 4$

Passaggio 2.3.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 4$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 2.3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$| 3 x - 4 | = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$3 x - 4 = \pm 0$

Passaggio 3.2.2

Più o meno $0$ è $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Passaggio 3.2.3

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 4$

Passaggio 3.2.4

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 4$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 3.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 3.2.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Passaggio 4

Risolvi $| 3 x - 4 |$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{4}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{4}{3}$ a $x$ .

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

Passaggio 4.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| 4 - 4 |$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$| 0 |$

Passaggio 4.1.2.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(\frac{4}{3}, 0)$

Passaggio 5