Calcolo Esempi

$g (y) = \frac{y - 4}{y^{2} - 2 y + 8}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = y - 4$ e $g (y) = y^{2} - 2 y + 8$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) \frac{d}{d y} [y - 4] - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 4$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (1 + \frac{d}{d y} [- 4]) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (1 + 0) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) \cdot 1 - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Moltiplica $y^{2} - 2 y + 8$ per $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - 2 y + 8$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 y$ rispetto a $y$ è $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.9

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.10

Poiché $8$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $8$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 + 0)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.11

Somma $2 y - 2$ e $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 + (- y - - 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 + (- y + 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2

Espandi $(- y + 4) (2 y - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y - 2) + 4 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 8 y + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.6

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 8 y - 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.2

Somma $2 y$ e $8 y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 10 y - 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Combina i termini opposti in $y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 10 y - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y + 0}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.2.2

Somma $y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y$ e $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sottrai $2 y^{2}$ da $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - 2 y + 10 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.4

Somma $- 2 y$ e $10 y$ .

$\frac{- y^{2} + 8 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Scomponi $y$ da $- y^{2} + 8 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Scomponi $y$ da $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) + 8 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Scomponi $y$ da $8 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.3

Scomponi $y$ da $y (- y) + y \cdot 8$ .

$\frac{y (- y + 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$\frac{y (- (y) + 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Riscrivi $8$ come $- 1 (- 8)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (- 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (y) - 1 (- 8)$ .

$\frac{y (- (y - 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.7

Riscrivi $- (y - 8)$ come $- 1 (y - 8)$ .

$\frac{y (- 1 (y - 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (y) = - \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $g (y)$ rispetto a $y$ è $- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$ .

$- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$y (y - 8) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y = 0$

$y - 8 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $y$ uguale a $0$ .

$y = 0$

Passaggio 2.3.3

Imposta $y - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $y - 8$ uguale a $0$ .

$y - 8 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 8$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $y (y - 8) = 0$ vera.

$y = 0, 8$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\frac{y - 4}{y^{2} - 2 y + 8}$ per ciascun valore di $y$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $y = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $y$ .

$\frac{(0) - 4}{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 8}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Sottrai $4$ da $0$ .

$\frac{- 4}{0^{2} - 2 \cdot 0 + 8}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{- 4}{0 - 2 \cdot 0 + 8}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{- 4}{0 + 0 + 8}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{- 4}{0 + 8}$

Passaggio 4.1.2.2.4

Somma $0$ e $8$ .

$\frac{- 4}{8}$

Passaggio 4.1.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{8}$

Passaggio 4.1.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{2}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2

Calcola per $y = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $8$ a $y$ .

$\frac{(8) - 4}{{(8)}^{2} - 2 \cdot 8 + 8}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $4$ da $8$ .

$\frac{4}{8^{2} - 2 \cdot 8 + 8}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4}{64 - 2 \cdot 8 + 8}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$\frac{4}{64 - 16 + 8}$

Passaggio 4.2.2.2.3

Sottrai $16$ da $64$ .

$\frac{4}{48 + 8}$

Passaggio 4.2.2.2.4

Somma $48$ e $8$ .

$\frac{4}{56}$

Passaggio 4.2.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $56$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 (1)}{56}$

Passaggio 4.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $56$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 14}$

Passaggio 4.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 14}$

Passaggio 4.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{14}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, - \frac{1}{2}), (8, \frac{1}{14})$

Passaggio 5