Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x \ln (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 1.1.4.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.4.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 1.1.4.4

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$2 (1 + \ln (x))$

Passaggio 1.1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 \ln (x)$

Passaggio 1.1.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 2 \ln (x)$

Passaggio 1.1.5.3

Riordina i termini.

$f' (x) = 2 \ln (x) + 2$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 \ln (x) + 2$ .

$2 \ln (x) + 2$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 \ln (x) + 2 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 \ln (x) + 2 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \ln (x) = - 2$

Passaggio 2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \ln (x) = - 2$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \ln (x) = - 2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.3.1

Dividi $- 2$ per $2$ .

$\ln (x) = - 1$

Passaggio 2.4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\ln (x) = - 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Passaggio 2.6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.6.1

Riscrivi l'equazione come $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Passaggio 2.6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \leq 0$

Passaggio 3.2

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 4

Risolvi $2 x \ln (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{1}{e}$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{1}{e}$ a $x$ .

$2 (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

$2$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e} \ln (\frac{1}{e})$

Passaggio 4.1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{e}$ come $1 e^{- 1}$ .

$\frac{2}{e} \ln (1 e^{- 1})$

Passaggio 4.1.2.3

Riscrivi $\ln (1 e^{- 1})$ come $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$\frac{2}{e} (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Passaggio 4.1.2.4

Usa le regole del logaritmo per togliere $- 1$ dall'esponente.

$\frac{2}{e} (\ln (1) - \ln (e))$

Passaggio 4.1.2.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\frac{2}{e} (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2}{e} (\ln (1) - 1)$

Passaggio 4.1.2.7

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{2}{e} (0 - 1)$

Passaggio 4.1.2.8

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{2}{e} \cdot - 1$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $\frac{2}{e} \cdot - 1$ .

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Passaggio 4.1.2.9.1

$\frac{2}{e}$ e $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{e}$

Passaggio 4.1.2.9.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2}{e}$

Passaggio 4.1.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{e}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$2 (0) \ln (0)$

Passaggio 4.2.2

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{1}{e}, - \frac{2}{e})$

Passaggio 5