Calcolo Esempi

$f (x) = 8 + 4 e^{0.5 x}$ , $[- 3, 3]$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$8 + 4 e^{0.5 x} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $8 + 4 e^{0.5 x} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 e^{0.5 x} = - 8$

Passaggio 1.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (4 e^{0.5 x}) = \ln (- 8)$

Passaggio 1.2.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- 8)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 1.2.4

Non c'è soluzione per $4 e^{0.5 x} = - 8$

Nessuna soluzione

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} d x - \int_{- 3}^{3} 0 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- 3$ e $3$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} - (0) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $0$ da $8 + 4 e^{0.5 x}$ .

$\int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 3}^{3} 8 d x + \int_{- 3}^{3} 4 e^{0.5 x} d x$

Passaggio 3.4

Applica la regola costante.

$8 x]_{- 3}^{3} + \int_{- 3}^{3} 4 e^{0.5 x} d x$

Passaggio 3.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 3}^{3} e^{0.5 x} d x$

Passaggio 3.6

Sia $u = 0.5 x$ . Allora $d u = 0.5 d x$ , quindi $\frac{1}{0.5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.6.1

Sia $u = 0.5 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.6.1.1

Differenzia $0.5 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x]$

Passaggio 3.6.1.2

Poiché $0.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0.5 x$ rispetto a $x$ è $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0.5 \cdot 1$

Passaggio 3.6.1.4

Moltiplica $0.5$ per $1$ .

$0.5$

Passaggio 3.6.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 0.5 x$ .

$u_{lower} = 0.5 \cdot - 3$

Passaggio 3.6.3

Moltiplica $0.5$ per $- 3$ .

$u_{lower} = - 1.5$

Passaggio 3.6.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 0.5 x$ .

$u_{upper} = 0.5 \cdot 3$

Passaggio 3.6.5

Moltiplica $0.5$ per $3$ .

$u_{upper} = 1.5$

Passaggio 3.6.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 1.5$

$u_{upper} = 1.5$

Passaggio 3.6.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} \frac{1}{0.5} d u$

Passaggio 3.7

$e^{u}$ e $\frac{1}{0.5}$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 1.5}^{1.5} \frac{e^{u}}{0.5} d u$

Passaggio 3.8

Poiché $\frac{1}{0.5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{0.5}$ fuori dall'integrale.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 (\frac{1}{0.5} \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} d u)$

Passaggio 3.9

$\frac{1}{0.5}$ e $4$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + \frac{4}{0.5} \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} d u$

Passaggio 3.10

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + \frac{4}{0.5} e^{u}]_{- 1.5}^{1.5}$

Passaggio 3.11

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.11.1

Calcola $8 x$ per $3$ e per $- 3$ .

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} e^{u}]_{- 1.5}^{1.5}$

Passaggio 3.11.2

Calcola $e^{u}$ per $1.5$ e per $- 1.5$ .

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Passaggio 3.11.3

Semplifica.

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Passaggio 3.11.3.1

Moltiplica $8$ per $3$ .

$24 - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Passaggio 3.11.3.2

Moltiplica $- 8$ per $- 3$ .

$24 + 24 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Passaggio 3.11.3.3

Somma $24$ e $24$ .

$48 + \frac{4}{0.5} (e^{1.5} - e^{- 1.5})$

Passaggio 3.12

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.12.1

Dividi $4$ per $0.5$ .

$48 + 8 (e^{1.5} - e^{- 1.5})$

Passaggio 3.12.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$48 + 8 (e^{1.5} - \frac{1}{e^{1.5}})$

Passaggio 3.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$48 + 8 e^{1.5} + 8 (- \frac{1}{e^{1.5}})$

Passaggio 3.12.4

Moltiplica $8 (- \frac{1}{e^{1.5}})$ .

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Passaggio 3.12.4.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$48 + 8 e^{1.5} - 8 \frac{1}{e^{1.5}}$

Passaggio 3.12.4.2

$- 8$ e $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$48 + 8 e^{1.5} + \frac{- 8}{e^{1.5}}$

Passaggio 3.12.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$48 + 8 e^{1.5} - \frac{8}{e^{1.5}}$

Passaggio 4