Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{- x^{2} - 25}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = - x^{2} - 25$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [- x^{2} - 25] - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} - 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x (- 2 x + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $- 25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$\frac{x (- 2 x) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1}) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 x^{1 + 1} - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 25)}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 x^{2} - - x^{2} - - 25}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.2.1.1

Moltiplica $- - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1 x^{2} - - 25}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.2.1.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x^{2} - - 25}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 25$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x^{2} + 25}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.2.2

Somma $- 2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.3.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.3.2

Riordina $- x^{2}$ e $5^{2}$ .

$\frac{5^{2} - x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 5$ e $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(5 + x) (5 - x) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$5 + x = 0$

$5 - x = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $5 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Imposta $5 + x$ uguale a $0$ .

$5 + x = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 2.3.3

Imposta $5 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $5 - x$ uguale a $0$ .

$5 - x = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Risolvi $5 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 5$

Passaggio 2.3.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 5$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 2.3.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.3.1

Dividi $- 5$ per $- 1$ .

$x = 5$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(5 + x) (5 - x) = 0$ vera.

$x = - 5, 5$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- 5, 5$ .

$- 5, 5$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 5)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f' (- 6) = \frac{(5 - 6) (5 - (- 6))}{{(- 6)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (- 6) = \frac{(5 - 6) (5 - (- 6))}{{(- 6)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $6$ da $5$ .

$f' (- 6) = \frac{- 1 (5 - (- 6))}{{(- 6)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$f' (- 6) = \frac{- 1 (5 + 6)}{{(- 6)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Somma $5$ e $6$ .

$f' (- 6) = \frac{- 1 \cdot 11}{{(- 6)}^{2}}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 6) = \frac{- 1 \cdot 11}{36}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $11$ .

$f' (- 6) = \frac{- 11}{36}$

Passaggio 6.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 6) = - \frac{11}{36}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- \frac{11}{36}$ .

$- \frac{11}{36}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 6$ la derivata è $- \frac{11}{36}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 5)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 5)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 5, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{5}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(5 - \frac{5}{2}) (5 - (- \frac{5}{2}))}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(5 - \frac{5}{2}) (5 - (- \frac{5}{2}))}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}) (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

$5$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}) (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5 \cdot 2 - 5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.4.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{10 - 5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.4.2

Sottrai $5$ da $10$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.5

Moltiplica $- - \frac{5}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 + 1 (\frac{5}{2}))}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.5.2

Moltiplica $\frac{5}{2}$ per $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.6

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.7

$5$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{5 \cdot 2 + 5}{2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.9.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{10 + 5}{2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.9.2

Somma $10$ e $5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 7.2.3.4

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 (\frac{25}{2^{2}})}$

Passaggio 7.2.3.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 (\frac{25}{4})}$

Passaggio 7.2.3.6

Moltiplica $\frac{25}{4}$ per $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{\frac{25}{4}}$

Passaggio 7.2.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Moltiplica $\frac{5}{2}$ per $\frac{15}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5 \cdot 15}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

Passaggio 7.2.4.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.2.1

Moltiplica $5$ per $15$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

Passaggio 7.2.4.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{4}}{\frac{25}{4}}$

Passaggio 7.2.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{75}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Passaggio 7.2.6

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1

Scomponi $25$ da $75$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{25 (3)}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Passaggio 7.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{25 \cdot 3}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Passaggio 7.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

Passaggio 7.2.7

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

Passaggio 7.2.7.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{5}{2}) = 3$

Passaggio 7.2.8

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - \frac{5}{2}$ la derivata è $3$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 5, 0)$ .

Crescente su $(- 5, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 5)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(5 + \frac{5}{2}) (5 - (\frac{5}{2}))}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(5 + \frac{5}{2}) (5 - (\frac{5}{2}))}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}) (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

$5$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}) (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{5 \cdot 2 + 5}{2} \cdot (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.4.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{10 + 5}{2} \cdot (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.4.2

Somma $10$ e $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.5

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot (5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.6

$5$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot (\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5 \cdot 2 - 5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.8.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{10 - 5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.8.2

Sottrai $5$ da $10$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.3.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{\frac{25}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{\frac{25}{4}}$

Passaggio 8.2.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1

Moltiplica $\frac{15}{2}$ per $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15 \cdot 5}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

Passaggio 8.2.4.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.2.1

Moltiplica $15$ per $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

Passaggio 8.2.4.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{4}}{\frac{25}{4}}$

Passaggio 8.2.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Passaggio 8.2.6

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.6.1

Scomponi $25$ da $75$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{25 (3)}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Passaggio 8.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{25 \cdot 3}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Passaggio 8.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

Passaggio 8.2.7

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

Passaggio 8.2.7.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{5}{2}) = 3$

Passaggio 8.2.8

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = \frac{5}{2}$ la derivata è $3$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, 5)$ .

Crescente su $(0, 5)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(5, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = \frac{(5 + 6) (5 - (6))}{{(6)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (6) = \frac{(5 + 6) (5 - (6))}{{(6)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Somma $5$ e $6$ .

$f' (6) = \frac{11 (5 - (6))}{6^{2}}$

Passaggio 9.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$f' (6) = \frac{11 (5 - 6)}{6^{2}}$

Passaggio 9.2.2.3

Sottrai $6$ da $5$ .

$f' (6) = \frac{11 \cdot - 1}{6^{2}}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f' (6) = \frac{11 \cdot - 1}{36}$

Passaggio 9.2.3.2

Moltiplica $11$ per $- 1$ .

$f' (6) = \frac{- 11}{36}$

Passaggio 9.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (6) = - \frac{11}{36}$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $- \frac{11}{36}$ .

$- \frac{11}{36}$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 6$ la derivata è $- \frac{11}{36}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(5, \infty)$ .

Decrescente su $(5, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 5, 0), (0, 5)$

Decrescente su: $(- \infty, - 5), (5, \infty)$

Passaggio 11