Calcolo Esempi

$f (x) = {(x + 3)}^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{5}}$ e $g (x) = x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{5}}] \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$\frac{2}{5} {(x + 3)}^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 1.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} {(x + 3)}^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 1.1.3

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} {(x + 3)}^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{5} {(x + 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 1.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{2}{5} {(x + 3)}^{\frac{2 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 1.1.5.2

Sottrai $5$ da $2$ .

$\frac{2}{5} {(x + 3)}^{\frac{- 3}{5}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 1.1.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{5} {(x + 3)}^{- \frac{3}{5}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 1.1.6.2

$\frac{2}{5}$ e ${(x + 3)}^{- \frac{3}{5}}$ .

$\frac{2 {(x + 3)}^{- \frac{3}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta ${(x + 3)}^{- \frac{3}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 1.1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.1.9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}} (1 + 0)$

Passaggio 1.1.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}} \cdot 1$

Passaggio 1.1.10.2

Moltiplica $\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}}$ .

$\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $2 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{2}{5 \sqrt[5]{{(x + 3)}^{3}}}$

Passaggio 4.2

Imposta il denominatore in $\frac{2}{5 \sqrt[5]{{(x + 3)}^{3}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$5 \sqrt[5]{{(x + 3)}^{3}} = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva entrambi i lati dell'equazione alla $5$ potenza.

${(5 \sqrt[5]{{(x + 3)}^{3}})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{{(x + 3)}^{3}}$ come ${(x + 3)}^{\frac{3}{5}}$ .

${(5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Semplifica ${(5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}$ .

$5^{5} {({(x + 3)}^{\frac{3}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $5$ .

$3125 {({(x + 3)}^{\frac{3}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 3)}^{\frac{3}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 {(x + 3)}^{\frac{3}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$3125 {(x + 3)}^{\frac{3}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$3125 {(x + 3)}^{3} = 0^{5}$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3125 {(x + 3)}^{3} = 0$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Dividi per $3125$ ciascun termine in $3125 {(x + 3)}^{3} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Dividi per $3125$ ciascun termine in $3125 {(x + 3)}^{3} = 0$ .

$\frac{3125 {(x + 3)}^{3}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Passaggio 4.3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3125 {(x + 3)}^{3}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Passaggio 4.3.3.1.2.1.2

Dividi ${(x + 3)}^{3}$ per $1$ .

${(x + 3)}^{3} = \frac{0}{3125}$

Passaggio 4.3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $3125$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

Passaggio 4.3.3.2

Poni $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 4.3.3.3

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = \frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = {(x + 3)}^{\frac{2}{5}}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$ .

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = \frac{2}{5 {((- 4) + 3)}^{\frac{3}{5}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Somma $- 4$ e $3$ .

$f' (- 4) = \frac{2}{5 {(- 1)}^{\frac{3}{5}}}$

Passaggio 6.2.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{5}$ .

$f' (- 4) = \frac{2}{5 {({(- 1)}^{5})}^{\frac{3}{5}}}$

Passaggio 6.2.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 4) = \frac{2}{5 {(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})}}$

Passaggio 6.2.1.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- 4) = \frac{2}{5 {(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})}}$

Passaggio 6.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 4) = \frac{2}{5 {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 4) = \frac{2}{5 \cdot - 1}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f' (- 4) = \frac{2}{- 5}$

Passaggio 6.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 4) = - \frac{2}{5}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- \frac{2}{5}$ .

$- \frac{2}{5}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 4$ la derivata è $- \frac{2}{5}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 3)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 3)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 3, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{2}{5 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{5}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Somma $- 2$ e $3$ .

$f' (- 2) = \frac{2}{5 \cdot 1^{\frac{3}{5}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- 2) = \frac{2}{5 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f' (- 2) = \frac{2}{5}$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $\frac{2}{5}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 3, \infty)$ .

Crescente su $(- 3, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 3, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - 3)$

Passaggio 9