Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ come un'equazione.

$y = \sqrt{3 - e^{2 x}}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{3 - e^{2 y}}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{3 - e^{2 y}} = x$ .

$\sqrt{3 - e^{2 y}} = x$

Passaggio 3.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{3 - e^{2 y}}}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 - e^{2 y}}$ come ${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(3 - e^{2 y})}^{1} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica.

$3 - e^{2 y} = x^{2}$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- e^{2 y} = x^{2} - 3$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{2 y} = x^{2} - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{2 y} = x^{2} - 3$ .

$\frac{- e^{2 y}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{e^{2 y}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Dividi $e^{2 y}$ per $1$ .

$e^{2 y} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$e^{2 y} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$e^{2 y} = - x^{2} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3.1.3

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$e^{2 y} = - x^{2} + 3$

Passaggio 3.4.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (- x^{2} + 3)$

Passaggio 3.4.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Espandi $\ln (e^{2 y})$ spostando $2 y$ fuori dal logaritmo.

$2 y \ln (e) = \ln (- x^{2} + 3)$

Passaggio 3.4.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (- x^{2} + 3)$

Passaggio 3.4.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 y = \ln (- x^{2} + 3)$

Passaggio 3.4.5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \ln (- x^{2} + 3)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \ln (- x^{2} + 3)$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Passaggio 3.4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Passaggio 3.4.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \frac{\ln (- {(\sqrt{3 - e^{2 x}})}^{2} + 3)}{2}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (- {\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2} + 3)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Riscrivi ${\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2}$ come $3 - e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 - e^{2 x}}$ come ${(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {({(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.4.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.4.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{2}{2}} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.4.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{2}{2}} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.4.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- (3 - e^{2 x}) + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.4.1.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- (3 - e^{2 x}) + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 1 \cdot 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.4.4

Moltiplica $- - e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + 1 e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.4.4.2

Moltiplica $e^{2 x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.5

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Combina i termini opposti in $- 3 + e^{2 x} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Somma $- 3$ e $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(0 + e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.5.1.2

Somma $0$ e $e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Passaggio 5.2.5.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Passaggio 5.2.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Passaggio 5.2.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{x})$

Passaggio 5.2.6

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x \ln (e)$

Passaggio 5.2.7

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x \cdot 1$

Passaggio 5.2.8

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{2 (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})}}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{2 (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})}}$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{\ln (- x^{2} + 3)}}$

Passaggio 5.3.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - (- x^{2} + 3)}$

Passaggio 5.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 + x^{2} - 1 \cdot 3}$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 + x^{2} - 3}$

Passaggio 5.3.7

Sottrai $3$ da $3$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Passaggio 5.3.8

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Passaggio 5.3.9

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$