Calcolo Esempi

$y = \frac{13 x}{1 + 0.25 x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $13$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{13 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $13 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$ .

$13 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + 0.25 x^{2}$ .

$13 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$13 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $1 + 0.25 x^{2}$ per $1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 0.25 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Poiché $0.25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0.25 x^{2}$ rispetto a $x$ è $0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $0.25$ per $- 1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x (2 x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.9

Moltiplica $2$ per $- 0.25$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x \cdot x}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{1 + 1}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.7

Somma $1$ e $1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.8

Sottrai $0.5 x^{2}$ da $0.25 x^{2}$ .

$13 \frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.9

$13$ e $\frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{13 (1 - 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{13 \cdot 1 + 13 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.2.1

Moltiplica $13$ per $1$ .

$\frac{13 + 13 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.10.2.2

Moltiplica $- 0.25$ per $13$ .

$\frac{13 - 3.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.10.3

Riordina i termini.

$\frac{- 3.25 x^{2} + 13}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.10.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.4.1

Scomponi $3.25$ da $- 3.25 x^{2} + 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.4.1.1

Scomponi $3.25$ da $- 3.25 x^{2}$ .

$\frac{3.25 (- x^{2}) + 13}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.10.4.1.2

Scomponi $3.25$ da $13$ .

$\frac{3.25 (- x^{2}) + 3.25 (4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.10.4.1.3

Scomponi $3.25$ da $3.25 (- x^{2}) + 3.25 (4)$ .

$\frac{3.25 (- x^{2} + 4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.10.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{3.25 (- x^{2} + 2^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.10.4.3

Riordina $- x^{2}$ e $2^{2}$ .

$\frac{3.25 (2^{2} - x^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.10.4.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = x$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.10.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.5.1

Scomponi $0.25$ da $0.25 x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.5.1.1

Scomponi $0.25$ da $0.25 x^{2}$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2}) + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.10.5.1.2

Scomponi $0.25$ da $1$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4)}^{2}}$

Passaggio 1.10.5.1.3

Scomponi $0.25$ da $0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2} + 4))}^{2}}$

Passaggio 1.10.5.2

Applica la regola del prodotto a $0.25 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{0.25}^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.10.5.3

Eleva $0.25$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.10.6

Scomponi $3.25$ da $3.25 (2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{3.25 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.10.7

Scomponi $0.0625$ da $0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{3.25 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 ({(x^{2} + 4)}^{2})}$

Passaggio 1.10.8

Frazioni separate.

$\frac{3.25}{0.0625} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.10.9

Dividi $3.25$ per $0.0625$ .

$52 \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.10.10

$52$ e $\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{52 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $52$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{52 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $52 \frac{d}{d x} [\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 52 \frac{d}{d x} (\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Passaggio 2.2

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}})$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}})$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 2 + x$ e $g (x) = 2 - x$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \frac{d}{d x} (2 - x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x)) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.5.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.5.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \frac{d}{d x} (- x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.5.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (- \frac{d}{d x} x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.5.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (- 1 \cdot 1) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.5.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \cdot - 1 + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.5.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $2 + x$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 1 \cdot (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.5.6.3

Riscrivi $- 1 (2 + x)$ come $- (2 + x)$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.5.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (x))) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.5.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) (0 + \frac{d}{d x} (x))) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.5.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.5.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \cdot 1) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.5.11

Moltiplica $2 - x$ per $1$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.7.2

Scomponi $x^{2} + 4$ da ${(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Scomponi $x^{2} + 4$ da ${(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x)$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.7.2.2

Scomponi $x^{2} + 4$ da $- 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) + (x^{2} + 4) (- 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.7.2.3

Scomponi $x^{2} + 4$ da $(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) + (x^{2} + 4) (- 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]))$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.8

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Scomponi $x^{2} + 4$ da ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 2.8.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 2.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 2.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 2.11

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 2.12

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 52 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Passaggio 2.12.3

$52$ e $\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{52 ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{52 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{52 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x) + (- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{52 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x)) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{52 ((x^{2} + 4) (- 2 - x + 2 - x)) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.2

Combina i termini opposti in $- 2 - x + 2 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.4.1.2.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{52 ((x^{2} + 4) (- x + 0 - x)) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.2.2

Somma $- x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{52 ((x^{2} + 4) (- x - x)) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.3

Sottrai $x$ da $- x$ .

$f'' (x) = \frac{52 ((x^{2} + 4) (- 2 x)) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{52 (x^{2} (- 2 x) + 4 (- 2 x)) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{52 (- 2 x^{2} x + 4 (- 2 x)) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.6

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{52 (- 2 x^{2} x - 8 x) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.4.1.7.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{52 (- 2 (x \cdot x^{2}) - 8 x) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.4.1.7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{52 (- 2 (x \cdot x^{2}) - 8 x) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.7.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{52 (- 2 x^{1 + 2} - 8 x) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.7.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{52 (- 2 x^{3} - 8 x) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{52 (- 2 x^{3}) + 52 (- 8 x) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.9

Moltiplica $- 2$ per $52$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} + 52 (- 8 x) + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.10

Moltiplica $- 8$ per $52$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.11

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 8 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.12

Espandi $(- 8 - 4 x) (2 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.4.1.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 8 (2 - x) - 4 x (2 - x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 8 \cdot 2 - 8 (- x) - 4 x (2 - x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 8 \cdot 2 - 8 (- x) - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.13

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.4.1.13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.4.1.13.1.1

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 16 - 8 (- x) - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.13.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 16 + 8 x - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.13.1.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.13.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 x \cdot x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.13.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.4.1.13.1.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 (x \cdot x))) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.13.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 x^{2})) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.13.1.6

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 16 + 8 x - 8 x + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.13.2

Sottrai $8 x$ da $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 16 + 0 + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.13.3

Somma $- 16$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 ((- 16 + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.14

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 (- 16 x + 4 x^{2} x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.15

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.4.1.15.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 (- 16 x + 4 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.15.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.4.1.15.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 (- 16 x + 4 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.15.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 (- 16 x + 4 x^{1 + 2})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.15.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 (- 16 x + 4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.16

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x + 52 (- 16 x) + 52 (4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.17

Moltiplica $- 16$ per $52$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x - 832 x + 52 (4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.1.18

Moltiplica $4$ per $52$ .

$f'' (x) = \frac{- 104 x^{3} - 416 x - 832 x + 208 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.2

Somma $- 104 x^{3}$ e $208 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{104 x^{3} - 416 x - 832 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.4.3

Sottrai $832 x$ da $- 416 x$ .

$f'' (x) = \frac{104 x^{3} - 1248 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.5

Scomponi $104 x$ da $104 x^{3} - 1248 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.5.1

Scomponi $104 x$ da $104 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{104 x (x^{2}) - 1248 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.5.2

Scomponi $104 x$ da $- 1248 x$ .

$f'' (x) = \frac{104 x (x^{2}) + 104 x (- 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.13.5.3

Scomponi $104 x$ da $104 x (x^{2}) + 104 x (- 12)$ .

$f'' (x) = \frac{104 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{52 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $13$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{13 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $13 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$ .

$13 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$

Passaggio 4.1.2

$13 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$13 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $1 + 0.25 x^{2}$ per $1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 0.25 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.6

Poiché $0.25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0.25 x^{2}$ rispetto a $x$ è $0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.7

Moltiplica $0.25$ per $- 1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x (2 x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.9

Moltiplica $2$ per $- 0.25$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x \cdot x}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{1 + 1}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.7

Somma $1$ e $1$ .

$13 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.8

Sottrai $0.5 x^{2}$ da $0.25 x^{2}$ .

$13 \frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.9

$13$ e $\frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{13 (1 - 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{13 \cdot 1 + 13 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.2.1

Moltiplica $13$ per $1$ .

$\frac{13 + 13 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.2.2

Moltiplica $- 0.25$ per $13$ .

$\frac{13 - 3.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.3

Riordina i termini.

$\frac{- 3.25 x^{2} + 13}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.4.1

Scomponi $3.25$ da $- 3.25 x^{2} + 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.4.1.1

Scomponi $3.25$ da $- 3.25 x^{2}$ .

$\frac{3.25 (- x^{2}) + 13}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.4.1.2

Scomponi $3.25$ da $13$ .

$\frac{3.25 (- x^{2}) + 3.25 (4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.4.1.3

Scomponi $3.25$ da $3.25 (- x^{2}) + 3.25 (4)$ .

$\frac{3.25 (- x^{2} + 4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{3.25 (- x^{2} + 2^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.4.3

Riordina $- x^{2}$ e $2^{2}$ .

$\frac{3.25 (2^{2} - x^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.4.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = x$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.5.1

Scomponi $0.25$ da $0.25 x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.5.1.1

Scomponi $0.25$ da $0.25 x^{2}$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2}) + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.5.1.2

Scomponi $0.25$ da $1$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.5.1.3

Scomponi $0.25$ da $0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2} + 4))}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.5.2

Applica la regola del prodotto a $0.25 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{{0.25}^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.5.3

Eleva $0.25$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3.25 (2 + x) (2 - x)}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.6

Scomponi $3.25$ da $3.25 (2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{3.25 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.7

Scomponi $0.0625$ da $0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{3.25 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 ({(x^{2} + 4)}^{2})}$

Passaggio 4.1.10.8

Frazioni separate.

$\frac{3.25}{0.0625} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.9

Dividi $3.25$ per $0.0625$ .

$52 \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.10

$52$ e $\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{52 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{52 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{52 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{52 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{52 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$52 (2 + x) (2 - x) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Passaggio 5.3.2

Imposta $2 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Imposta $2 + x$ uguale a $0$ .

$2 + x = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 5.3.3

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ .

$2 - x = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Risolvi $2 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 2$

Passaggio 5.3.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x = 2$

Passaggio 5.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $52 (2 + x) (2 - x) = 0$ vera.

$x = - 2, 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 2, 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{104 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 12)}{{({(- 2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $104$ per $- 2$ .

$\frac{- 208 ({(- 2)}^{2} - 12)}{{({(- 2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 208 ({(- 2)}^{2} - 12)}{{(4 + 4)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2

Somma $4$ e $4$ .

$\frac{- 208 ({(- 2)}^{2} - 12)}{8^{3}}$

Passaggio 9.2.3

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$\frac{- 208 ({(- 2)}^{2} - 12)}{512}$

Passaggio 9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 208 (4 - 12)}{512}$

Passaggio 9.3.2

Sottrai $12$ da $4$ .

$\frac{- 208 \cdot - 8}{512}$

Passaggio 9.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Moltiplica $- 208$ per $- 8$ .

$\frac{1664}{512}$

Passaggio 9.4.2

Elimina il fattore comune di $1664$ e $512$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1

Scomponi $128$ da $1664$ .

$\frac{128 (13)}{512}$

Passaggio 9.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.2.1

Scomponi $128$ da $512$ .

$\frac{128 \cdot 13}{128 \cdot 4}$

Passaggio 9.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{128 \cdot 13}{128 \cdot 4}$

Passaggio 9.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{13}{4}$

Passaggio 10

$x = - 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 2$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = \frac{13 (- 2)}{1 + 0.25 {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $13$ per $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 26}{1 + 0.25 {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 26}{1 + 0.25 \cdot 4}$

Passaggio 11.2.2.2

Moltiplica $0.25$ per $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 26}{1 + 1}$

Passaggio 11.2.2.3

Somma $1$ e $1$ .

$f (- 2) = \frac{- 26}{2}$

Passaggio 11.2.3

Dividi $- 26$ per $2$ .

$f (- 2) = - 13$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $- 13$ .

$y = - 13$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{104 (2) ({(2)}^{2} - 12)}{{({(2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $104$ per $2$ .

$\frac{208 (2^{2} - 12)}{{(2^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 13.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{208 (2^{2} - 12)}{{(4 + 4)}^{3}}$

Passaggio 13.2.2

Somma $4$ e $4$ .

$\frac{208 (2^{2} - 12)}{8^{3}}$

Passaggio 13.2.3

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$\frac{208 (2^{2} - 12)}{512}$

Passaggio 13.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{208 (4 - 12)}{512}$

Passaggio 13.3.2

Sottrai $12$ da $4$ .

$\frac{208 \cdot - 8}{512}$

Passaggio 13.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Moltiplica $208$ per $- 8$ .

$\frac{- 1664}{512}$

Passaggio 13.4.2

Elimina il fattore comune di $- 1664$ e $512$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.2.1

Scomponi $128$ da $- 1664$ .

$\frac{128 (- 13)}{512}$

Passaggio 13.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.2.2.1

Scomponi $128$ da $512$ .

$\frac{128 \cdot - 13}{128 \cdot 4}$

Passaggio 13.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{128 \cdot - 13}{128 \cdot 4}$

Passaggio 13.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 13}{4}$

Passaggio 13.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{13}{4}$

Passaggio 14

$x = 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{13 (2)}{1 + 0.25 {(2)}^{2}}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Moltiplica $13$ per $2$ .

$f (2) = \frac{26}{1 + 0.25 \cdot 2^{2}}$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = \frac{26}{1 + 0.25 \cdot 4}$

Passaggio 15.2.2.2

Moltiplica $0.25$ per $4$ .

$f (2) = \frac{26}{1 + 1}$

Passaggio 15.2.2.3

Somma $1$ e $1$ .

$f (2) = \frac{26}{2}$

Passaggio 15.2.3

Dividi $26$ per $2$ .

$f (2) = 13$

Passaggio 15.2.4

La risposta finale è $13$ .

$y = 13$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{13 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ .

$(- 2, - 13)$ è un minimo locale

$(2, 13)$ è un massimo locale

Passaggio 17