Calcolo Esempi

$14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$

Passaggio 1

Scrivi $14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$ come funzione.

$f (x) = 14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [14 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [14 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [14 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $14 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $14 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$14 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$14 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $14$ .

$- 14 \sin (x) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 14 \sin (x) + 7 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (2 \cdot \cos (2 x))$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $2$ per $7$ .

$- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 14 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [14 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 14 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (14 \cos (2 x))$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 14 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 14 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 14 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 14 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (14 \cos (2 x))$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + \frac{d}{d x} (14 \cos (2 x))$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [14 \cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $14 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $14 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 3.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $- 2$ per $14$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) - 28 \sin (2 x)$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x) = 0$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 14 \sin (x) + 14 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 14 \sin (x) + 14 \cdot 1 + 14 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 5.3

Moltiplica $14$ per $1$ .

$- 14 \sin (x) + 14 + 14 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 5.4

Moltiplica $- 2$ per $14$ .

$- 14 \sin (x) + 14 - 28 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 6

Fattorizza $- 14 \sin (x) + 14 - 28 \sin^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi $14$ da $- 14 \sin (x) + 14 - 28 \sin^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $14$ da $- 14 \sin (x)$ .

$14 (- \sin (x)) + 14 - 28 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $14$ da $14$ .

$14 (- \sin (x)) + 14 (1) - 28 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 6.1.3

Scomponi $14$ da $- 28 \sin^{2} (x)$ .

$14 (- \sin (x)) + 14 (1) + 14 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 6.1.4

Scomponi $14$ da $14 (- \sin (x)) + 14 (1)$ .

$14 (- \sin (x) + 1) + 14 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 6.1.5

Scomponi $14$ da $14 (- \sin (x) + 1) + 14 (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$14 (- \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Riordina i termini.

$14 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ e la cui somma è $b = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Scomponi $- 1$ da $- \sin (x)$ .

$14 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 6.2.1.2.2

Riscrivi $- 1$ come $1$ più $- 2$ .

$14 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 6.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$14 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 6.2.1.2.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$14 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 6.2.1.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$14 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 6.2.1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$14 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

Passaggio 6.2.1.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 2 \sin (x) + 1$ .

$14 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

Passaggio 6.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$14 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 8

Imposta $- 2 \sin (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta $- 2 \sin (x) + 1$ uguale a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 8.2

Risolvi $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Passaggio 8.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = - 1$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 8.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 8.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 8.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 8.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 8.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 8.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 8.2.6

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 8.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.6.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 8.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 8.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.6.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 8.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 8.2.7

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Passaggio 9

Imposta $\sin (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Imposta $\sin (x) + 1$ uguale a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi $\sin (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (x) = - 1$

Passaggio 9.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 9.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 9.2.4

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 9.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 9.2.5.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 9.2.6

La soluzione dell'equazione $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $14 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{6}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 14 \cos (\frac{π}{6}) - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 14 \frac{\sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 12.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 14$ .

$2 (- 7) \frac{\sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 12.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 7 \frac{\sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 12.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 12.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$- 7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Passaggio 12.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$- 7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Passaggio 12.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- 7 \sqrt{3} - 28 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 12.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 7 \sqrt{3} - 28 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 12.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.5.1

Scomponi $2$ da $- 28$ .

$- 7 \sqrt{3} + 2 (- 14) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 12.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$- 7 \sqrt{3} + 2 \cdot - 14 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 12.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- 7 \sqrt{3} - 14 \sqrt{3}$

Passaggio 12.2

Sottrai $14 \sqrt{3}$ da $- 7 \sqrt{3}$ .

$- 21 \sqrt{3}$

Passaggio 13

$x = \frac{π}{6}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{6}$ è un massimo locale

Passaggio 14

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = 14 \cos (\frac{π}{6}) + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 14.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 14 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 14.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $14$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (7) (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 14.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot (7 (\frac{\sqrt{3}}{2})) + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 14.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 14.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Passaggio 14.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Passaggio 14.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 14.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 14.2.1.5

$7$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 14.2.2

Per scrivere $7 \sqrt{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 14.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.1

$7 \sqrt{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{7 \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 14.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{7 \sqrt{3} \cdot 2 + 7 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 14.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{14 \sqrt{3} + 7 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 14.2.4.2

Somma $14 \sqrt{3}$ e $7 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{21 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 14.2.5

La risposta finale è $\frac{21 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{21 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{5 π}{6}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 14 \cos (\frac{5 π}{6}) - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- 14 (- \cos (\frac{π}{6})) - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 16.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 14 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 16.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$- 14 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 16.1.3.2

Scomponi $2$ da $- 14$ .

$2 (- 7) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 16.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 7 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 16.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$- 7 (- \sqrt{3}) - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 16.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 16.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.5.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Passaggio 16.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Passaggio 16.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$7 \sqrt{3} - 28 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 16.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$7 \sqrt{3} - 28 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Passaggio 16.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$7 \sqrt{3} - 28 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 16.1.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$7 \sqrt{3} - 28 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 16.1.8.2

Scomponi $2$ da $- 28$ .

$7 \sqrt{3} + 2 (- 14) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 16.1.8.3

Elimina il fattore comune.

$7 \sqrt{3} + 2 \cdot - 14 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 16.1.8.4

Riscrivi l'espressione.

$7 \sqrt{3} - 14 (- \sqrt{3})$

Passaggio 16.1.9

Moltiplica $- 1$ per $- 14$ .

$7 \sqrt{3} + 14 \sqrt{3}$

Passaggio 16.2

Somma $7 \sqrt{3}$ e $14 \sqrt{3}$ .

$21 \sqrt{3}$

Passaggio 17

$x = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale

Passaggio 18

Trova il valore di y quando $x = \frac{5 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = 14 \cos (\frac{5 π}{6}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 18.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = 14 (- \cos (\frac{π}{6})) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 18.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 14 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 18.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$f (\frac{5 π}{6}) = 14 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 18.2.1.3.2

Scomponi $2$ da $14$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (7) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 18.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cdot (7 (\frac{- \sqrt{3}}{2})) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 18.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = 7 (- \sqrt{3}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 18.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 18.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.5.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Passaggio 18.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Passaggio 18.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 18.2.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Passaggio 18.2.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 18.2.1.8

Moltiplica $7 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} - 7 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 18.2.1.8.2

$- 7$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + \frac{- 7 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 18.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} - \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 18.2.2

Per scrivere $- 7 \sqrt{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 18.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.3.1

$- 7 \sqrt{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 7 \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 18.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 7 \sqrt{3} \cdot 2 - 7 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 18.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 14 \sqrt{3} - 7 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 18.2.4.2

Sottrai $7 \sqrt{3}$ da $- 14 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 21 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 18.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{21 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 18.2.6

La risposta finale è $- \frac{21 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{21 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 19

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 14 \cos (- \frac{π}{2}) - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Passaggio 20

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- 14 \cos (\frac{3 π}{2}) - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Passaggio 20.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 14 \cos (\frac{π}{2}) - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Passaggio 20.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$- 14 \cdot 0 - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Passaggio 20.1.4

Moltiplica $- 14$ per $0$ .

$0 - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Passaggio 20.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{2}$ nel numeratore.

$0 - 28 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Passaggio 20.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$0 - 28 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Passaggio 20.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$0 - 28 \sin (- π)$

Passaggio 20.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$0 - 28 \sin (0)$

Passaggio 20.1.7

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0 - 28 \cdot 0$

Passaggio 20.1.8

Moltiplica $- 28$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 20.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 21

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Passaggio 21.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dall'intervallo $(- \infty, - \frac{π}{2})$ nella derivata prima $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = - 14 \sin (- 4) + 14 \cos (2 (- 4))$

Passaggio 21.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.2.1.1

Calcola $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 14 \cdot 0.75680249 + 14 \cos (2 (- 4))$

Passaggio 21.2.2.1.2

Moltiplica $- 14$ per $0.75680249$ .

$f' (- 4) = - 10.59523493 + 14 \cos (2 (- 4))$

Passaggio 21.2.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f' (- 4) = - 10.59523493 + 14 \cos (- 8)$

Passaggio 21.2.2.1.4

Calcola $\cos (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 10.59523493 + 14 \cdot - 0.14550003$

Passaggio 21.2.2.1.5

Moltiplica $14$ per $- 0.14550003$ .

$f' (- 4) = - 10.59523493 - 2.03700047$

Passaggio 21.2.2.2

Sottrai $2.03700047$ da $- 10.59523493$ .

$f' (- 4) = - 12.6322354$

Passaggio 21.2.2.3

La risposta finale è $- 12.6322354$ .

$- 12.6322354$

Passaggio 21.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dall'intervallo $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{6})$ nella derivata prima $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = - 14 \sin (0) + 14 \cos (2 (0))$

Passaggio 21.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.3.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f' (0) = - 14 \cdot 0 + 14 \cos (2 (0))$

Passaggio 21.3.2.1.2

Moltiplica $- 14$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 14 \cos (2 (0))$

Passaggio 21.3.2.1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 14 \cos (0)$

Passaggio 21.3.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f' (0) = 0 + 14 \cdot 1$

Passaggio 21.3.2.1.5

Moltiplica $14$ per $1$ .

$f' (0) = 0 + 14$

Passaggio 21.3.2.2

Somma $0$ e $14$ .

$f' (0) = 14$

Passaggio 21.3.2.3

La risposta finale è $14$ .

$14$

Passaggio 21.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dall'intervallo $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ nella derivata prima $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - 14 \sin (2) + 14 \cos (2 (2))$

Passaggio 21.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.4.2.1.1

Calcola $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 14 \cdot 0.90929742 + 14 \cos (2 (2))$

Passaggio 21.4.2.1.2

Moltiplica $- 14$ per $0.90929742$ .

$f' (2) = - 12.73016397 + 14 \cos (2 (2))$

Passaggio 21.4.2.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (2) = - 12.73016397 + 14 \cos (4)$

Passaggio 21.4.2.1.4

Calcola $\cos (4)$ .

$f' (2) = - 12.73016397 + 14 \cdot - 0.65364362$

Passaggio 21.4.2.1.5

Moltiplica $14$ per $- 0.65364362$ .

$f' (2) = - 12.73016397 - 9.15101069$

Passaggio 21.4.2.2

Sottrai $9.15101069$ da $- 12.73016397$ .

$f' (2) = - 21.88117466$

Passaggio 21.4.2.3

La risposta finale è $- 21.88117466$ .

$- 21.88117466$

Passaggio 21.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dall'intervallo $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ nella derivata prima $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = - 14 \sin (4) + 14 \cos (2 (4))$

Passaggio 21.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.5.2.1.1

Calcola $\sin (4)$ .

$f' (4) = - 14 \cdot - 0.75680249 + 14 \cos (2 (4))$

Passaggio 21.5.2.1.2

Moltiplica $- 14$ per $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 10.59523493 + 14 \cos (2 (4))$

Passaggio 21.5.2.1.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (4) = 10.59523493 + 14 \cos (8)$

Passaggio 21.5.2.1.4

Calcola $\cos (8)$ .

$f' (4) = 10.59523493 + 14 \cdot - 0.14550003$

Passaggio 21.5.2.1.5

Moltiplica $14$ per $- 0.14550003$ .

$f' (4) = 10.59523493 - 2.03700047$

Passaggio 21.5.2.2

Sottrai $2.03700047$ da $10.59523493$ .

$f' (4) = 8.55823446$

Passaggio 21.5.2.3

La risposta finale è $8.55823446$ .

$8.55823446$

Passaggio 21.6

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $7$ , dall'intervallo $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ nella derivata prima $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f' (7) = - 14 \sin (7) + 14 \cos (2 (7))$

Passaggio 21.6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.6.2.1.1

Calcola $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 14 \cdot 0.65698659 + 14 \cos (2 (7))$

Passaggio 21.6.2.1.2

Moltiplica $- 14$ per $0.65698659$ .

$f' (7) = - 9.19781238 + 14 \cos (2 (7))$

Passaggio 21.6.2.1.3

Moltiplica $2$ per $7$ .

$f' (7) = - 9.19781238 + 14 \cos (14)$

Passaggio 21.6.2.1.4

Calcola $\cos (14)$ .

$f' (7) = - 9.19781238 + 14 \cdot 0.13673721$

Passaggio 21.6.2.1.5

Moltiplica $14$ per $0.13673721$ .

$f' (7) = - 9.19781238 + 1.91432105$

Passaggio 21.6.2.2

Somma $- 9.19781238$ e $1.91432105$ .

$f' (7) = - 7.28349132$

Passaggio 21.6.2.3

La risposta finale è $- 7.28349132$ .

$- 7.28349132$

Passaggio 21.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = - \frac{π}{2}$ , allora $x = - \frac{π}{2}$ è un minimo locale.

$x = - \frac{π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 21.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = \frac{π}{6}$ , allora $x = \frac{π}{6}$ è un massimo locale.

$x = \frac{π}{6}$ è un massimo locale

Passaggio 21.9

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{5 π}{6}$ , allora $x = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale.

$x = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale

Passaggio 21.10

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = \frac{3 π}{2}$ , allora $x = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale.

$x = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 21.11

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ è un minimo locale

$x = \frac{π}{6}$ è un massimo locale

$x = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale

$x = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale

$x = - \frac{π}{2}$ è un minimo locale

$x = \frac{π}{6}$ è un massimo locale

$x = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale

$x = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 22