Calcolo Esempi

$x^{2} + \frac{480}{x}$

Passaggio 1

Scrivi $x^{2} + \frac{480}{x}$ come funzione.

$f (x) = x^{2} + \frac{480}{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + \frac{480}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $480$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{480}{x}$ rispetto a $x$ è $480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$2 x + 480 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 x + 480 (- x^{- 2})$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $480$ .

$2 x - 480 x^{- 2}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 480 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

$- 480$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 480}{x^{2}}$

Passaggio 2.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 x - \frac{480}{x^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - \frac{480}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{480}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{480}{x^{2}})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{480}{x^{2}})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{480}{x^{2}})$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{480}{x^{2}})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{480}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 480$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{480}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 480 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 480 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- x^{- 4} (2 x))$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- 2 x^{- 4} x)$

Passaggio 3.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Passaggio 3.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 2 - 480 (- 2 x^{1 - 4})$

Passaggio 3.3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 3.3.10

Moltiplica $- 2$ per $- 480$ .

$f'' (x) = 2 + 960 x^{- 3}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 960 (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 3.4.2

$960$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{960}{x^{3}}$

Passaggio 3.4.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{960}{x^{3}} + 2$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + \frac{480}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$

Passaggio 5.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $480$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{480}{x}$ rispetto a $x$ è $480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 5.1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$2 x + 480 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 5.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 x + 480 (- x^{- 2})$

Passaggio 5.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $480$ .

$2 x - 480 x^{- 2}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 480 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

$- 480$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 480}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 2 x - \frac{480}{x^{2}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x - \frac{480}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{480}{x^{2}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$

Passaggio 6.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x^{2}, 1$

Passaggio 6.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2}$

Passaggio 6.3

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica ogni termine in $2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$ per $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{2 + 1} - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 x^{3} - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{480}{x^{2}}$ nel numeratore.

$2 x^{3} + \frac{- 480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{3} + \frac{- 480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{3} - 480 = 0 x^{2}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 480 = 0$

Passaggio 6.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Somma $480$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{3} = 480$

Passaggio 6.4.2

Sottrai $480$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{3} - 480 = 0$

Passaggio 6.4.3

Scomponi $2$ da $2 x^{3} - 480$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 480 = 0$

Passaggio 6.4.3.2

Scomponi $2$ da $- 480$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 240 = 0$

Passaggio 6.4.3.3

Scomponi $2$ da $2 x^{3} + 2 \cdot - 240$ .

$2 (x^{3} - 240) = 0$

Passaggio 6.4.4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x^{3} - 240) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x^{3} - 240) = 0$ .

$\frac{2 (x^{3} - 240)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x^{3} - 240)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.4.4.2.1.2

Dividi $x^{3} - 240$ per $1$ .

$x^{3} - 240 = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x^{3} - 240 = 0$

Passaggio 6.4.5

Somma $240$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} = 240$

Passaggio 6.4.6

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{240}$

Passaggio 6.4.7

Semplifica $\sqrt[3]{240}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.7.1

Riscrivi $240$ come $2^{3} \cdot 30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.7.1.1

Scomponi $8$ da $240$ .

$x = \sqrt[3]{8 (30)}$

Passaggio 6.4.7.1.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 30}$

Passaggio 6.4.7.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = 2 \sqrt[3]{30}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta il denominatore in $\frac{480}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 7.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 2 \sqrt[3]{30}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 2 \sqrt[3]{30}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{960}{{(2 \sqrt[3]{30})}^{3}} + 2$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt[3]{30}$ .

$\frac{960}{2^{3} {\sqrt[3]{30}}^{3}} + 2$

Passaggio 10.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{960}{8 {\sqrt[3]{30}}^{3}} + 2$

Passaggio 10.1.1.3

Riscrivi ${\sqrt[3]{30}}^{3}$ come $30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{30}$ come $30^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{960}{8 {(30^{\frac{1}{3}})}^{3}} + 2$

Passaggio 10.1.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{960}{8 \cdot 30^{\frac{1}{3} \cdot 3}} + 2$

Passaggio 10.1.1.3.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{960}{8 \cdot 30^{\frac{3}{3}}} + 2$

Passaggio 10.1.1.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{960}{8 \cdot 30^{\frac{3}{3}}} + 2$

Passaggio 10.1.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{960}{8 \cdot 30^{1}} + 2$

Passaggio 10.1.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{960}{8 \cdot 30} + 2$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $8$ per $30$ .

$\frac{960}{240} + 2$

Passaggio 10.1.3

Dividi $960$ per $240$ .

$4 + 2$

Passaggio 10.2

Somma $4$ e $2$ .

$6$

Passaggio 11

$x = 2 \sqrt[3]{30}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2 \sqrt[3]{30}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 2 \sqrt[3]{30}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2 \sqrt[3]{30}$ nell'espressione.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = {(2 \sqrt[3]{30})}^{2} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt[3]{30}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 2^{2} {\sqrt[3]{30}}^{2} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Passaggio 12.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 {\sqrt[3]{30}}^{2} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Passaggio 12.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt[3]{30}}^{2}$ come $\sqrt[3]{30^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{30^{2}} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Passaggio 12.2.1.4

Eleva $30$ alla potenza di $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Passaggio 12.2.1.5

Elimina il fattore comune di $480$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.5.1

Scomponi $2$ da $480$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{2 \cdot 240}{2 \sqrt[3]{30}}$

Passaggio 12.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.5.2.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt[3]{30}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{2 \cdot 240}{2 (\sqrt[3]{30})}$

Passaggio 12.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{2 \cdot 240}{2 \sqrt[3]{30}}$

Passaggio 12.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240}{\sqrt[3]{30}}$

Passaggio 12.2.1.6

Moltiplica $\frac{240}{\sqrt[3]{30}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240}{\sqrt[3]{30}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{2}}$

Passaggio 12.2.1.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.7.1

Moltiplica $\frac{240}{\sqrt[3]{30}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{\sqrt[3]{30} {\sqrt[3]{30}}^{2}}$

Passaggio 12.2.1.7.2

Eleva $\sqrt[3]{30}$ alla potenza di $1$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{\sqrt[3]{30} {\sqrt[3]{30}}^{2}}$

Passaggio 12.2.1.7.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{1 + 2}}$

Passaggio 12.2.1.7.4

Somma $1$ e $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{3}}$

Passaggio 12.2.1.7.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{30}}^{3}$ come $30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{30}$ come $30^{\frac{1}{3}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{{(30^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 12.2.1.7.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 12.2.1.7.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 12.2.1.7.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.7.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 12.2.1.7.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30}$

Passaggio 12.2.1.7.5.5

Calcola l'esponente.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30}$

Passaggio 12.2.1.8

Elimina il fattore comune di $240$ e $30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.8.1

Scomponi $30$ da $240 {\sqrt[3]{30}}^{2}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{30 (8 {\sqrt[3]{30}}^{2})}{30}$

Passaggio 12.2.1.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.8.2.1

Scomponi $30$ da $30$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{30 (8 {\sqrt[3]{30}}^{2})}{30 (1)}$

Passaggio 12.2.1.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{30 (8 {\sqrt[3]{30}}^{2})}{30 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.1.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{8 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{1}$

Passaggio 12.2.1.8.2.4

Dividi $8 {\sqrt[3]{30}}^{2}$ per $1$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + 8 {\sqrt[3]{30}}^{2}$

Passaggio 12.2.1.9

Riscrivi ${\sqrt[3]{30}}^{2}$ come $\sqrt[3]{30^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + 8 \sqrt[3]{30^{2}}$

Passaggio 12.2.1.10

Eleva $30$ alla potenza di $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + 8 \sqrt[3]{900}$

Passaggio 12.2.2

Somma $4 \sqrt[3]{900}$ e $8 \sqrt[3]{900}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 12 \sqrt[3]{900}$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $12 \sqrt[3]{900}$ .

$y = 12 \sqrt[3]{900}$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{2} + \frac{480}{x}$ .

$(2 \sqrt[3]{30}, 12 \sqrt[3]{900})$ è un minimo locale

Passaggio 14