Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} + 64}{x}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x^{2} + 64}{x}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 64$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64] - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 64$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64)}{x^{2}}$

Passaggio 2.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 64}{x^{2}}$

Passaggio 2.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 64}{x^{2}}$

Passaggio 2.9.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 64}{x^{2}}$

Passaggio 2.9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 2.9.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 8$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 8) (x - 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 8) (x - 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 8) (x - 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 8$ e $g (x) = x - 8$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) \frac{d}{d x} (x - 8) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.3

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.4.2

Moltiplica $x + 8$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8))) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} (8))) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.7

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + 0)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \cdot 1) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.8.2

Moltiplica $x - 8$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + x - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 8 - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.8.4

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.4.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.8.4.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x + 8) (x - 8) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 3.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Passaggio 3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Passaggio 3.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 16) (x - 8) x}{x^{4}}$

Passaggio 3.9.2.1.2

Espandi $(- 2 x - 16) (x - 8)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 8) - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Passaggio 3.9.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Passaggio 3.9.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Passaggio 3.9.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Passaggio 3.9.2.1.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Passaggio 3.9.2.1.3.1.2

Moltiplica $- 8$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Passaggio 3.9.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 16$ per $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x + 128) x}{x^{4}}$

Passaggio 3.9.2.1.3.2

Sottrai $16 x$ da $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 128) x}{x^{4}}$

Passaggio 3.9.2.1.3.3

Somma $- 2 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 128) x}{x^{4}}$

Passaggio 3.9.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 128 x}{x^{4}}$

Passaggio 3.9.2.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Passaggio 3.9.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Passaggio 3.9.2.1.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 128 x}{x^{4}}$

Passaggio 3.9.2.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 128 x}{x^{4}}$

Passaggio 3.9.2.2

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 128 x}{x^{4}}$

Passaggio 3.9.2.3

Somma $0$ e $128 x$ .

$f'' (x) = \frac{128 x}{x^{4}}$

Passaggio 3.9.3

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.1

Scomponi $x$ da $128 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 128}{x^{4}}$

Passaggio 3.9.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 3.9.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 3.9.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{128}{x^{3}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64] - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 64$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.2.3

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.2.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64)}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 64}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.9.2.1

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 64}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.9.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 64}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.9.3.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.9.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 8$ .

$f' (x) = \frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(x + 8) (x - 8) = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 8 = 0$

$x - 8 = 0$

Passaggio 6.3.2

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ .

$x + 8 = 0$

Passaggio 6.3.2.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 8$

Passaggio 6.3.3

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 6.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 8) (x - 8) = 0$ vera.

$x = - 8, 8$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 7.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = - 8, 8$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = - 8$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{128}{{(- 8)}^{3}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $3$ .

$\frac{128}{- 512}$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune di $128$ e $- 512$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Scomponi $128$ da $128$ .

$\frac{128 (1)}{- 512}$

Passaggio 10.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Scomponi $128$ da $- 512$ .

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot - 4}$

Passaggio 10.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot - 4}$

Passaggio 10.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- 4}$

Passaggio 10.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 11

$x = - 8$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 8$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8$ nell'espressione.

$f (- 8) = \frac{{(- 8)}^{2} + 64}{- 8}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$f (- 8) = \frac{64 + 64}{- 8}$

Passaggio 12.2.1.2

Somma $64$ e $64$ .

$f (- 8) = \frac{128}{- 8}$

Passaggio 12.2.2

Dividi $128$ per $- 8$ .

$f (- 8) = - 16$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $- 16$ .

$y = - 16$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 8$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{128}{{(8)}^{3}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$\frac{128}{512}$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune di $128$ e $512$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Scomponi $128$ da $128$ .

$\frac{128 (1)}{512}$

Passaggio 14.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Scomponi $128$ da $512$ .

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 4}$

Passaggio 14.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 4}$

Passaggio 14.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 15

$x = 8$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 8$ è un minimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f (8) = \frac{{(8)}^{2} + 64}{8}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$f (8) = \frac{64 + 64}{8}$

Passaggio 16.2.1.2

Somma $64$ e $64$ .

$f (8) = \frac{128}{8}$

Passaggio 16.2.2

Dividi $128$ per $8$ .

$f (8) = 16$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $16$ .

$y = 16$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$ .

$(- 8, - 16)$ è un massimo locale

$(8, 16)$ è un minimo locale

Passaggio 18