Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$ , $[1, 4]$

Passaggio 1

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per determinare se la funzione è continua in $[1, 4]$ o no, trova il dominio di $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Imposta il denominatore in $\frac{x}{x + 2}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.1.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 2}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 2}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[1, 4]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica $x + 2$ per $1$ .

$\frac{x + 2 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{x + 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x + 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.6

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.6.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.6.4

Somma $0$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su $(1, 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per determinare se la funzione è continua in $(1, 4)$ o no, trova il dominio di $f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Imposta il denominatore in $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poni $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 4.1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 2}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 2}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su $(1, 4)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su $(1, 4)$ perché la derivata è continua su $(1, 4)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[1, 4]$ e differenziabile su $(1, 4)$ .

$f (x)$ è continua su $[1, 4]$ e differenziabile su $(1, 4)$ .

Passaggio 7

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[1, 4]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{1}{(1) + 2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma $1$ e $2$ .

$f (1) = \frac{1}{3}$

Passaggio 7.2.2

La risposta finale è $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 8

Calcola $f (b)$ dall'intervallo $[1, 4]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = \frac{4}{(4) + 2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $(4) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{4 + 2}$

Passaggio 8.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 (2) + 2}$

Passaggio 8.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 + 2 \cdot 1}$

Passaggio 8.2.1.2.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 2 + 2 \cdot 1$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

Passaggio 8.2.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

Passaggio 8.2.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$f (4) = \frac{2}{2 + 1}$

Passaggio 8.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$f (4) = \frac{2}{3}$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Passaggio 9

Risolvi $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per $x$ . $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (4) + f (1))}{- (4 + 1)}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica $- 1$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

Passaggio 9.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 1}{3}}{(4) - (1)}$

Passaggio 9.1.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{4 - 1}$

Passaggio 9.1.5

Sottrai $1$ da $4$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{3}$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 9.1.7

Moltiplica $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.7.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3 \cdot 3}$

Passaggio 9.1.7.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$

Passaggio 9.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

${(x + 2)}^{2}, 9$

Passaggio 9.2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 9.2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 9.2.4

$9$ presenta fattori di $3$ e $3$ .

$3 \cdot 3$

Passaggio 9.2.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9$

Passaggio 9.2.6

I fattori di $x + 2$ sono $(x + 2) \cdot (x + 2)$ , che corrisponde a $x + 2$ moltiplicato per se stesso $2$ volte.

$(x + 2) = (x + 2) \cdot (x + 2)$

$(x + 2)$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 9.2.7

Il minimo comune multiplo di ${(x + 2)}^{2}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

${(x + 2)}^{2}$

Passaggio 9.2.8

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$9 {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 9.3

Moltiplica per $9 {(x + 2)}^{2}$ ciascun termine in $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ per $9 {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} (9 {(x + 2)}^{2}) = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Passaggio 9.3.2.2

Moltiplica $9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

$9$ e $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{9 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Passaggio 9.3.2.2.2

Moltiplica $9$ per $2$ .

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Passaggio 9.3.2.3

Elimina il fattore comune di ${(x + 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Passaggio 9.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Passaggio 9.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1.1

Scomponi $9$ da $9 {(x + 2)}^{2}$ .

$18 = \frac{1}{9} (9 ({(x + 2)}^{2}))$

Passaggio 9.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Passaggio 9.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$18 = {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 9.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Riscrivi l'equazione come ${(x + 2)}^{2} = 18$ .

${(x + 2)}^{2} = 18$

Passaggio 9.4.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x + 2 = \pm \sqrt{18}$

Passaggio 9.4.3

Semplifica $\pm \sqrt{18}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.3.1

Riscrivi $18$ come $3^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.3.1.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$x + 2 = \pm \sqrt{9 (2)}$

Passaggio 9.4.3.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x + 2 = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Passaggio 9.4.3.2

Estrai i termini dal radicale.

$x + 2 = \pm 3 \sqrt{2}$

Passaggio 9.4.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x + 2 = 3 \sqrt{2}$

Passaggio 9.4.4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3 \sqrt{2} - 2$

Passaggio 9.4.4.3

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x + 2 = - 3 \sqrt{2}$

Passaggio 9.4.4.4

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3 \sqrt{2} - 2$

Passaggio 9.4.4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3 \sqrt{2} - 2, - 3 \sqrt{2} - 2$

Passaggio 10

C'è una tangente che si trova con $x = 3 \sqrt{2} - 2$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 1$ e $b = 4$ .

C'è una tangente con $x = 3 \sqrt{2} - 2$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 1$ e $b = 4$

Passaggio 11

C'è una tangente che si trova con $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 1$ e $b = 4$ .

C'è una tangente con $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 1$ e $b = 4$

Passaggio 12