Calcolo Esempi

$y = \ln (9 + \ln (x))$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 9 + \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 + \ln (x)$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 + \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 1.2.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 1.4

Moltiplica $\frac{1}{9 + \ln (x)}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{(9 + \ln (x)) x}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{9 x + \ln (x) x}$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$\frac{1}{x \ln (x) + 9 x}$

Passaggio 1.5.3

Scomponi $x$ da $x \ln (x) + 9 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $x$ da $x \ln (x)$ .

$\frac{1}{x (\ln (x)) + 9 x}$

Passaggio 1.5.3.2

Scomponi $x$ da $9 x$ .

$\frac{1}{x (\ln (x)) + x \cdot 9}$

Passaggio 1.5.3.3

Scomponi $x$ da $x (\ln (x)) + x \cdot 9$ .

$f' (x) = \frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$ come ${(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x (\ln (x) + 9)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x (\ln (x) + 9)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x (\ln (x) + 9)$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x) + 9$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x) + 9] + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (x) + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.5

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + 0) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.6.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Somma $\frac{1}{x}$ e $0$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{1}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.6.2.2

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.6.2.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.6.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \cdot 1)$

Passaggio 2.6.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.4.1

Moltiplica $\ln (x) + 9$ per $1$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + \ln (x) + 9)$

Passaggio 2.6.4.2

Somma $1$ e $9$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (10 + \ln (x))$

Passaggio 2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x (\ln (x) + 9))}^{2}} (10 + \ln (x))$

Passaggio 2.7.2

Applica la regola del prodotto a $x (\ln (x) + 9)$ .

$- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$

Passaggio 2.7.3

Riordina i fattori di $- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$ .

$- (10 + \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.7.4

Applica la proprietà distributiva.

$(- 1 \cdot 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.7.5

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$(- 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.7.6

Moltiplica $- 10 - \ln (x)$ per $\frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 10 - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.7.7

Scomponi $- 1$ da $- 10 - \ln (x)$ .

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Passaggio 2.7.7.1

Riscrivi $- 10$ come $- 1 (10)$ .

$\frac{- 1 (10) - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.7.7.2

Scomponi $- 1$ da $- \ln (x)$ .

$\frac{- 1 (10) - (\ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.7.7.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (10) - (\ln (x))$ .

$\frac{- 1 (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.7.7.4

Riscrivi $- 1 (10 + \ln (x))$ come $- (10 + \ln (x))$ .

$\frac{- (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.7.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{10 + \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$