Calcolo Esempi

$y = \frac{2 x^{3} + 9}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x^{3} + 9$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 9] - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{x (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (6 x^{2} + 0) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Somma $6 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x (6 x^{2}) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 x^{1 + 2} - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 9) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 9)}{x^{2}}$

Passaggio 1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3}) - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Passaggio 1.8.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Passaggio 1.8.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 9}{x^{2}}$

Passaggio 1.8.2.2

Sottrai $2 x^{3}$ da $6 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 9}{x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 9] - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 9] - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 9] - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x^{2} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.6

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{2} + 0) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.7

Somma $12 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{2}) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} \cdot 12 - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2 + 2} \cdot 12 - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.3.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{x^{4} \cdot 12 - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.4

Sposta $12$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$\frac{12 \cdot x^{4} - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{12 x^{4} - (4 x^{3} - 9) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{3} - 9) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7

Semplifica.

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Passaggio 2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 x^{4} + (- 2 (4 x^{3}) - 2 \cdot - 9) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{3}) x - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.7.3.1.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.7.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 (x \cdot x^{3})) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 (x^{1} x^{3})) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{1 + 3}) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3.1.1.3

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{4}) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3.1.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{12 x^{4} - 8 x^{4} - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 9$ .

$\frac{12 x^{4} - 8 x^{4} + 18 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3.2

Sottrai $8 x^{4}$ da $12 x^{4}$ .

$\frac{4 x^{4} + 18 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.4

Scomponi $2 x$ da $4 x^{4} + 18 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.1

Scomponi $2 x$ da $4 x^{4}$ .

$\frac{2 x (2 x^{3}) + 18 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.4.2

Scomponi $2 x$ da $18 x$ .

$\frac{2 x (2 x^{3}) + 2 x (9)}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.4.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (2 x^{3}) + 2 x (9)$ .

$\frac{2 x (2 x^{3} + 9)}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.5

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{4}$ .

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Passaggio 2.7.5.1

Scomponi $x$ da $2 x (2 x^{3} + 9)$ .

$\frac{x (2 (2 x^{3} + 9))}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.7.5.2.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{x (2 (2 x^{3} + 9))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.7.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (2 (2 x^{3} + 9))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.7.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{3} + 9)}{x^{3}}$