Calcolo Esempi

$y = \cot (x) + 3 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cot (x) + 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \csc^{2} (x) + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \csc^{2} (x) + 3 (2 x)$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \csc^{2} (x) + 6 x$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = 6 x - \csc^{2} (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x - \csc^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \csc^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$6 - \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\csc (x)$ .

$6 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 - (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\csc (x)$ .

$6 - (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Passaggio 2.3.3

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 - (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$6 - (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Passaggio 2.3.5

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$6 - (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x))$

Passaggio 2.3.6

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$6 - (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x))$

Passaggio 2.3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 - (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x))$

Passaggio 2.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$6 - (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x))$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$6 + 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x) + 6$