Calcolo Esempi

$y = 8 x \cos (x^{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x \cos (x^{2})$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$8 (x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$8 (x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$8 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$8 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$8 (x^{1} x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$8 (x^{1} x^{1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.8

Somma $1$ e $1$ .

$8 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

Passaggio 1.10

Moltiplica $\cos (x^{2})$ per $1$ .

$8 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

Passaggio 1.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 8 \cos (x^{2})$

Passaggio 1.11.2

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$f' (x) = - 16 x^{2} \sin (x^{2}) + 8 \cos (x^{2})$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 16 x^{2} \sin (x^{2}) + 8 \cos (x^{2})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 16 x^{2} \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x^{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [- 16 x^{2} \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x^{2})]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 16 x^{2} \sin (x^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x^{2} \sin (x^{2})$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x^{2})]$ .

$- 16 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x^{2})]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$- 16 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (x^{2})]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$- 16 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (x^{2})]$

Passaggio 2.2.3.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$- 16 (x^{2} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (x^{2})]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$- 16 (x^{2} (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (x^{2})]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 16 (x^{2} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (x^{2})]$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 16 (x^{2} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \cos (x^{2})]$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Sposta $x$ .

$- 16 (x \cdot x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \cos (x^{2})]$

Passaggio 2.2.6.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 16 (x^{1} x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \cos (x^{2})]$

Passaggio 2.2.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 16 (x^{1 + 2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \cos (x^{2})]$

Passaggio 2.2.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$- 16 (x^{3} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \cos (x^{2})]$

Passaggio 2.2.7

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (x^{2})$ .

$- 16 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \cos (x^{2})]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 \cos (x^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \cos (x^{2})$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$ .

$- 16 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 8 \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2}$ .

$- 16 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 8 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$- 16 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 8 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$- 16 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 8 (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 16 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 8 (- \sin (x^{2}) (2 x))$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 16 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 8 (- 2 \sin (x^{2}) x)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$- 16 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) - 16 \sin (x^{2}) x$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 16 (x^{3} (2 \cos (x^{2}))) - 16 (\sin (x^{2}) (2 x)) - 16 \sin (x^{2}) x$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 16$ .

$- 32 (x^{3} (\cos (x^{2}))) - 16 (\sin (x^{2}) (2 x)) - 16 \sin (x^{2}) x$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 16$ .

$- 32 x^{3} \cos (x^{2}) - 32 (\sin (x^{2}) (x)) - 16 \sin (x^{2}) x$

Passaggio 2.4.2.3

Sottrai $16 \sin (x^{2}) x$ da $- 32 \sin (x^{2}) x$ .

$- 32 x^{3} \cos (x^{2}) - 48 \sin (x^{2}) x$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = - 32 x^{3} \cos (x^{2}) - 48 x \sin (x^{2})$