Calcolo Esempi

$y = \frac{2000 x}{4 x + 75}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Poiché $2000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2000 x}{4 x + 75}$ rispetto a $x$ è $2000 \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x + 75}]$ .

$2000 \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x + 75}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 4 x + 75$ .

$2000 \frac{(4 x + 75) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [4 x + 75]}{{(4 x + 75)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2000 \frac{(4 x + 75) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [4 x + 75]}{{(4 x + 75)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $4 x + 75$ per $1$ .

$2000 \frac{4 x + 75 - x \frac{d}{d x} [4 x + 75]}{{(4 x + 75)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 75$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [75]$ .

$2000 \frac{4 x + 75 - x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [75])}{{(4 x + 75)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2000 \frac{4 x + 75 - x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [75])}{{(4 x + 75)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2000 \frac{4 x + 75 - x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [75])}{{(4 x + 75)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$2000 \frac{4 x + 75 - x (4 + \frac{d}{d x} [75])}{{(4 x + 75)}^{2}}$

Passaggio 1.3.7

Poiché $75$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $75$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2000 \frac{4 x + 75 - x (4 + 0)}{{(4 x + 75)}^{2}}$

Passaggio 1.3.8

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.3.8.1

Somma $4$ e $0$ .

$2000 \frac{4 x + 75 - x \cdot 4}{{(4 x + 75)}^{2}}$

Passaggio 1.3.8.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$2000 \frac{4 x + 75 - 4 x}{{(4 x + 75)}^{2}}$

Passaggio 1.3.8.3

Sottrai $4 x$ da $4 x$ .

$2000 \frac{0 + 75}{{(4 x + 75)}^{2}}$

Passaggio 1.3.8.4

Somma $0$ e $75$ .

$2000 \frac{75}{{(4 x + 75)}^{2}}$

Passaggio 1.3.8.5

$2000$ e $\frac{75}{{(4 x + 75)}^{2}}$ .

$\frac{2000 \cdot 75}{{(4 x + 75)}^{2}}$

Passaggio 1.3.8.6

Moltiplica $2000$ per $75$ .

$f' (x) = \frac{150000}{{(4 x + 75)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.1.1

Poiché $150000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{150000}{{(4 x + 75)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $150000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x + 75)}^{2}}]$ .

$150000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x + 75)}^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(4 x + 75)}^{2}}$ come ${({(4 x + 75)}^{2})}^{- 1}$ .

$150000 \frac{d}{d x} [{({(4 x + 75)}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 x + 75)}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$150000 \frac{d}{d x} [{(4 x + 75)}^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$150000 \frac{d}{d x} [{(4 x + 75)}^{- 2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = 4 x + 75$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x + 75$ .

$150000 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [4 x + 75])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$150000 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x + 75])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x + 75$ .

$150000 (- 2 {(4 x + 75)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x + 75])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $150000$ .

$- 300000 ({(4 x + 75)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x + 75])$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 75$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [75]$ .

$- 300000 {(4 x + 75)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [75])$

Passaggio 2.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 300000 {(4 x + 75)}^{- 3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [75])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 300000 {(4 x + 75)}^{- 3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [75])$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 300000 {(4 x + 75)}^{- 3} (4 + \frac{d}{d x} [75])$

Passaggio 2.3.6

Poiché $75$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $75$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 300000 {(4 x + 75)}^{- 3} (4 + 0)$

Passaggio 2.3.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.7.1

Somma $4$ e $0$ .

$- 300000 {(4 x + 75)}^{- 3} \cdot 4$

Passaggio 2.3.7.2

Moltiplica $4$ per $- 300000$ .

$- 1200000 {(4 x + 75)}^{- 3}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1200000 \frac{1}{{(4 x + 75)}^{3}}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.4.2.1

$- 1200000$ e $\frac{1}{{(4 x + 75)}^{3}}$ .

$\frac{- 1200000}{{(4 x + 75)}^{3}}$

Passaggio 2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{1200000}{{(4 x + 75)}^{3}}$