Calcolo Esempi

$y = - 100 x^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1

Scrivi $y = - 100 x^{\frac{1}{4}}$ come funzione.

$f (x) = - 100 x^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $- 100$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 100 x^{\frac{1}{4}}$ rispetto a $x$ è $- 100 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$- 100 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{4}$ .

$- 100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Passaggio 2.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$- 100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Passaggio 2.1.4

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$- 100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Passaggio 2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Passaggio 2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Passaggio 2.1.6.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$- 100 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Passaggio 2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 100 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Passaggio 2.1.8

$\frac{1}{4}$ e $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$- 100 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Passaggio 2.1.9

$- 100$ e $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{- 100 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Passaggio 2.1.10

Sposta $x^{- \frac{3}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 100}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 2.1.11

Scomponi $4$ da $- 100$ .

$\frac{4 \cdot - 25}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 2.1.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.12.1

Scomponi $4$ da $4 x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot - 25}{4 (x^{\frac{3}{4}})}$

Passaggio 2.1.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot - 25}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 2.1.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 25}{x^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 2.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$- \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$25 = 0$

Passaggio 3.3

Poiché $25 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 4

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{25}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Passaggio 5.2

Imposta il denominatore in $\frac{25}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[4]{x^{3}} = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva entrambi i lati dell'equazione alla $4$ potenza.

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 0^{4}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{x^{3}}$ come $x^{\frac{3}{4}}$ .

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Passaggio 5.3.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{3} = 0^{4}$

Passaggio 5.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 5.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 5.4

Imposta il radicando in $\sqrt[4]{x^{3}}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} < 0$

Passaggio 5.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$x < \sqrt[3]{0}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$x < 0$

Passaggio 5.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 6

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = - 100 x^{\frac{1}{4}}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = - \frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 7.2

La risposta finale è $- \frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$- \frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- \frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - \frac{25}{{(1)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - \frac{25}{1}$

Passaggio 8.2.2

Dividi $25$ per $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 25$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$f' (1) = - 25$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- 25$ .

$- 25$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $- 25$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, \infty)$ .

Decrescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Passaggio 10