Calcolo Esempi

$f (x) = x (6 - x)$ ; $(- \infty, \infty)$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 6 - x$ .

$x \frac{d}{d x} [6 - x] + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x \frac{d}{d x} [- x] + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- \frac{d}{d x} [x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- 1 \cdot 1) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x \cdot - 1 + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.2.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$- 1 \cdot x + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.2.6.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$- x + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- x + (6 - x) \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.2.8

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 1.1.1.2.8.1

Moltiplica $6 - x$ per $1$ .

$- x + 6 - x$

Passaggio 1.1.1.2.8.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$f' (x) = - 2 x + 6$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x + 6$ .

$- 2 x + 6$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 x + 6 = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 2 x + 6 = 0$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 6$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 6$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 6$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 6}{- 2}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

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Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 6}{- 2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 2}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.3.1

Dividi $- 6$ per $- 2$ .

$x = 3$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $x (6 - x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 3$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

$(3) (6 - (3))$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 (6 - 3)$

Passaggio 1.4.1.2.2

Sottrai $3$ da $6$ .

$3 \cdot 3$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(3, 9)$

Passaggio 2

Usa il test della derivata prima per determinare quale punto può essere il massimo o il minimo.

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Passaggio 2.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 2.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, 3)$ nella derivata prima $- 2 x + 6$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 2.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 6$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 6$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $0$ e $6$ .

$f' (0) = 6$

Passaggio 2.2.2.3

La risposta finale è $6$ .

$6$

Passaggio 2.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata prima $- 2 x + 6$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = - 2 \cdot 6 + 6$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$f' (6) = - 12 + 6$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $- 12$ e $6$ .

$f' (6) = - 6$

Passaggio 2.3.2.3

La risposta finale è $- 6$ .

$- 6$

Passaggio 2.4

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 3$ , allora $x = 3$ è un massimo locale.

$x = 3$ è un massimo locale

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(3, 9)$

Nessun minimo assoluto

Passaggio 4