Calcolo Esempi

$\sum_{k = 1}^{\infty} 4 {(\frac{2}{3})}^{k}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica infinita può essere calcolata usando la formula $\frac{a}{1 - r}$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e semplificando.

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Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ .

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(\frac{2}{3})}^{k + 1}$ e ${(\frac{2}{3})}^{k}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi ${(\frac{2}{3})}^{k}$ da ${(\frac{2}{3})}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k} \frac{2}{3}}{{(\frac{2}{3})}^{k}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k} \frac{2}{3}}{{(\frac{2}{3})}^{k} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k} \frac{2}{3}}{{(\frac{2}{3})}^{k} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{\frac{2}{3}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$r = \frac{2}{3}$

Passaggio 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Passaggio 4

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $k$ con $1$ in $4 {(\frac{2}{3})}^{k}$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{1}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica.

$a = 4 (\frac{2}{3})$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $4 (\frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

$4$ e $\frac{2}{3}$ .

$a = \frac{4 \cdot 2}{3}$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$a = \frac{8}{3}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori del rapporto e del primo termine nella formula della somma.

$\frac{\frac{8}{3}}{1 - \frac{2}{3}}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Passaggio 6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 2}{3}}$

Passaggio 6.2.3

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Passaggio 6.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{8}{3} (1 \cdot 3)$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 6.4.1

Scomponi $3$ da $1 \cdot 3$ .

$\frac{8}{3} (3 \cdot 1)$

Passaggio 6.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{3} (3 \cdot 1)$

Passaggio 6.4.3

Riscrivi l'espressione.

$8$