Calcolo Esempi

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{7^{n}}{4^{n + 3}}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica infinita può essere calcolata usando la formula $\frac{a}{1 - r}$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e semplificando.

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Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ .

$r = \frac{\frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}}}{\frac{7^{n}}{4^{n + 3}}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$r = \frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}} \cdot \frac{4^{n + 3}}{7^{n}}$

Passaggio 2.2.2

Combina.

$r = \frac{7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $7^{n + 1}$ e $7^{n}$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $7^{n}$ da $7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}$ .

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

Passaggio 2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.3.2.1

Scomponi $7^{n}$ da $4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}$ .

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

Passaggio 2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3}}$

Passaggio 2.2.4

Elimina il fattore comune di $4^{n + 3}$ e $4^{n + 1 + 3}$ .

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Passaggio 2.2.4.1

Scomponi $4^{n + 1 + 3}$ da $7 \cdot 4^{n + 3}$ .

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3}}$

Passaggio 2.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}}{1}$

Passaggio 2.2.4.2.4

Dividi $7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$ per $1$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.5.1

Somma $1$ e $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 4)}$

Passaggio 2.2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 1 \cdot 4}$

Passaggio 2.2.5.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 4}$

Passaggio 2.2.6

Combina i termini opposti in $n + 3 - n - 4$ .

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Passaggio 2.2.6.1

Sottrai $n$ da $n$ .

$r = 7 \cdot 4^{0 + 3 - 4}$

Passaggio 2.2.6.2

Somma $0$ e $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{3 - 4}$

Passaggio 2.2.7

Sottrai $4$ da $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{- 1}$

Passaggio 2.2.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = 7 \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 2.2.9

$7$ e $\frac{1}{4}$ .

$r = \frac{7}{4}$

Passaggio 3

Check if the series is convergent or divergent.

Since $| r | \geq 1$ , the series diverges.