Calcolo Esempi

$\frac{(y - 1)}{y^{2} - 3 y + 3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = y - 1$ e $g (y) = y^{2} - 3 y + 3$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 3) \frac{d}{d y} (y - 1) - (y - 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 3) (\frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 1)) - (y - 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 3) (1 + \frac{d}{d y} (- 1)) - (y - 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 3) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 3) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Moltiplica $y^{2} - 3 y + 3$ per $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - (y - 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - 3 y + 3$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - (y - 1) (\frac{d}{d y} (y^{2}) + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (3))}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (3))}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 3 y$ rispetto a $y$ è $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - (y - 1) (2 y - 3 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (3))}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - (y - 1) (2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (3))}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.9

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - (y - 1) (2 y - 3 + \frac{d}{d y} (3))}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.10

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - (y - 1) (2 y - 3 + 0)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.11

Somma $2 y - 3$ e $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - (y - 1) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 + (- y + 1) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 + (- y + 1) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2

Espandi $(- y + 1) (2 y - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - y (2 y - 3) + 1 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 1 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - 1 \cdot (2 y \cdot y) - y \cdot - 3 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - 1 \cdot (2 (y \cdot y)) - y \cdot - 3 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - 1 \cdot (2 y^{2}) - y \cdot - 3 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - 2 y^{2} - y \cdot - 3 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - 2 y^{2} + 3 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.5

Moltiplica $2 y$ per $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - 2 y^{2} + 3 y + 2 y + 1 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.6

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - 2 y^{2} + 3 y + 2 y - 3}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.2

Somma $3 y$ e $2 y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - 2 y^{2} + 5 y - 3}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Combina i termini opposti in $y^{2} - 3 y + 3 - 2 y^{2} + 5 y - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 5 y + 0}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.2.2

Somma $y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 5 y$ e $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 5 y}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sottrai $2 y^{2}$ da $y^{2}$ .

$f' (y) = \frac{- y^{2} - 3 y + 5 y}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.4

Somma $- 3 y$ e $5 y$ .

$f' (y) = \frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Scomponi $y$ da $- y^{2} + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Scomponi $y$ da $- y^{2}$ .

$f' (y) = \frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Scomponi $y$ da $2 y$ .

$f' (y) = \frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.3

Scomponi $y$ da $y (- y) + y \cdot 2$ .

$f' (y) = \frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y) - 1 \cdot - 2)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (y) - 1 (- 2)$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.7

Riscrivi $- (y - 2)$ come $- 1 (y - 2)$ .

$f' (y) = \frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (y) = - \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (y)$ rispetto a $y$ è $- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$y (y - 2) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y = 0$

$y - 2 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $y$ uguale a $0$ .

$y = 0$

Passaggio 2.3.3

Imposta $y - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $y - 2$ uguale a $0$ .

$y - 2 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 2$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $y (y - 2) = 0$ vera.

$y = 0, 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3}$ per ciascun valore di $y$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $y = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $y$ per $0$ .

$\frac{(0) - 1}{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{- 1}{0^{2} - 3 \cdot 0 + 3}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{- 1}{0 - 3 \cdot 0 + 3}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$\frac{- 1}{0 + 0 + 3}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{- 1}{0 + 3}$

Passaggio 4.1.2.2.4

Somma $0$ e $3$ .

$\frac{- 1}{3}$

Passaggio 4.1.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{3}$

Passaggio 4.2

Calcola per $y = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $y$ per $2$ .

$\frac{(2) - 1}{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{4 - 3 \cdot 2 + 3}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{1}{4 - 6 + 3}$

Passaggio 4.2.2.2.3

Sottrai $6$ da $4$ .

$\frac{1}{- 2 + 3}$

Passaggio 4.2.2.2.4

Somma $- 2$ e $3$ .

$\frac{1}{1}$

Passaggio 4.2.2.3

Dividi $1$ per $1$ .

$1$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, - \frac{1}{3}), (2, 1)$

Passaggio 5