Calcolo Esempi

$- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$ .

$- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica ${(x^{2} - 9)}^{2}$ per $1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 9$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 9$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2

Scomponi $x^{2} - 9$ da ${(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1

Scomponi $x^{2} - 9$ da ${(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.2

Scomponi $x^{2} - 9$ da $- 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.3

Scomponi $x^{2} - 9$ da $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Scomponi $x^{2} - 9$ da ${(x^{2} - 9)}^{4}$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.9

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.10.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.14

Somma $1$ e $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.15

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$- 18 \frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.16

$- 18$ e $\frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$\frac{- 18 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{18 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{18 (- 3 x^{2}) + 18 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.18.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.18.2.1

Moltiplica $- 3$ per $18$ .

$- \frac{- 54 x^{2} + 18 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.18.2.2

Moltiplica $18$ per $- 9$ .

$f' (x) = - \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 54 x^{2} - 162 = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Somma $162$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 54 x^{2} = 162$

Passaggio 2.3.2

Dividi per $- 54$ ciascun termine in $- 54 x^{2} = 162$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Dividi per $- 54$ ciascun termine in $- 54 x^{2} = 162$ .

$\frac{- 54 x^{2}}{- 54} = \frac{162}{- 54}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 54$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 54 x^{2}}{- 54} = \frac{162}{- 54}$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{162}{- 54}$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Dividi $162$ per $- 54$ .

$x^{2} = - 3$

Passaggio 2.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Passaggio 2.3.4.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.4.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x^{2} - 9)}^{3} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

${(x^{2} - 3^{2})}^{3} = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

${((x + 3) (x - 3))}^{3} = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 3) (x - 3)$ .

${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$

Passaggio 3.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

${(x - 3)}^{3} = 0$

Passaggio 3.2.3

Imposta ${(x + 3)}^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Imposta ${(x + 3)}^{3}$ uguale a $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

Passaggio 3.2.3.2

Risolvi ${(x + 3)}^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Poni $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.2.3.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 3.2.4

Imposta ${(x - 3)}^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Imposta ${(x - 3)}^{3}$ uguale a $0$ .

${(x - 3)}^{3} = 0$

Passaggio 3.2.4.2

Risolvi ${(x - 3)}^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Poni $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.2.4.2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 3.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$ vera.

$x = - 3, 3$

Passaggio 3.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 3, x = 3$

Passaggio 4

Risolvi $- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- 3$ a $x$ .

$- \frac{18 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{18 (- 3)}{{(9 - 9)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $9$ da $9$ .

$- \frac{18 (- 3)}{0^{2}}$

Passaggio 4.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{18 (- 3)}{0}$

Passaggio 4.1.2.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

$- \frac{18 (3)}{{({(3)}^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{18 (3)}{{(9 - 9)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $9$ da $9$ .

$- \frac{18 (3)}{0^{2}}$

Passaggio 4.2.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{18 (3)}{0}$

Passaggio 4.2.2.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato