Calcolo Esempi

$x^{- 3} \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{- 3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Passaggio 1.1.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

$x^{- 3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Passaggio 1.1.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{x^{1 + 3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{1}{x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$\frac{1}{x^{4}} + \ln (x) (- 3 x^{- 4})$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.1.6.1

Riordina i termini.

$- 3 x^{- 4} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.6.2.2

$- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.6.2.4

$\ln (x)$ e $\frac{3}{x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.6.2.5

Sposta $3$ alla sinistra di $\ln (x)$ .

$f' (x) = - \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $\frac{1}{x^{4}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} = - \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 2.3

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$- 3 \ln (x) = - 1$

Passaggio 2.4

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 \ln (x) = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 \ln (x) = - 1$ .

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.4.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\ln (x) = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.5

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.6

Riscrivi $\ln (x) = \frac{1}{3}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3}} = x$

Passaggio 2.7

Riscrivi l'equazione come $x = e^{\frac{1}{3}}$ .

$x = e^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{3 \ln (x)}{x^{4}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{4} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Passaggio 3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.3

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \leq 0$

Passaggio 3.4

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 4

Risolvi $x^{- 3} \ln (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = e^{\frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $e^{\frac{1}{3}}$ a $x$ .

${(e^{\frac{1}{3}})}^{- 3} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{\frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Passaggio 4.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 3} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.1.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4.1.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4.1.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4.1.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4.1.2.3

Usa le regole del logaritmo per togliere $\frac{1}{3}$ dall'esponente.

$\frac{1}{e} (\frac{1}{3} \ln (e))$

Passaggio 4.1.2.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\frac{1}{e} (\frac{1}{3} \cdot 1)$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{e} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $\frac{1}{e}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{e \cdot 3}$

Passaggio 4.1.2.7

Sposta $3$ alla sinistra di $e$ .

$\frac{1}{3 e}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{- 3} \ln (0)$

Passaggio 4.2.2

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(e^{\frac{1}{3}}, \frac{1}{3 e})$

Passaggio 5