Calcolo Esempi

$\int x^{2} \sqrt{1 - x} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = \sqrt{1 - x}$ .

$x^{2} (- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$x^{2} (- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Passaggio 2.2

$x^{2}$ e $\frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{x^{2} ({(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Passaggio 2.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Passaggio 3

Poiché $- \frac{2}{3} \cdot 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- \frac{2}{3} \cdot 2$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- \frac{2}{3} \cdot 2 \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- 2 (\frac{2}{3}) \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Passaggio 4.2

$- 2$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{- 2 \cdot 2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{- 4}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Passaggio 4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- \frac{4}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + 1 (\frac{4}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Passaggio 4.6

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

Passaggio 5

Sia $u = 1 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 1 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

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Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 5.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} \int - u^{\frac{3}{2}} (- u + 1) d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} (- u + 1) d u)$

Passaggio 7

Espandi $u^{\frac{3}{2}} (- u + 1)$ .

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} (- u) + u^{\frac{3}{2}} \cdot 1 d u)$

Passaggio 7.2

Riordina $u^{\frac{3}{2}}$ e $- 1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot 1 d u)$

Passaggio 7.3

Riordina $u^{\frac{3}{2}}$ e $1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 7.4

Metti in evidenza il valore negativo.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - (u^{\frac{3}{2}} u) + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 7.5

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - (u^{\frac{3}{2}} u^{1}) + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 7.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{3}{2} + 1} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 7.7

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 7.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{3 + 2}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 7.9

Somma $3$ e $2$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{5}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 7.10

Moltiplica $u^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{5}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 7.11

Riordina $- u^{\frac{5}{2}}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}} d u)$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - u^{\frac{5}{2}} d u))$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - u^{\frac{5}{2}} d u))$

Passaggio 10

$\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C + \int - u^{\frac{5}{2}} d u))$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C - \int u^{\frac{5}{2}} d u))$

Passaggio 12

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C - (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C)))$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

$\frac{2}{7}$ e $u^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C - (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C)))$

Passaggio 13.2

Semplifica.

$- \frac{2}{3} x^{2} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Passaggio 13.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

$x^{2}$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Passaggio 13.3.2

${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{x^{2} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} \cdot 2)}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Passaggio 13.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot x^{2})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Passaggio 13.3.4

Sposta $2$ alla sinistra di ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Passaggio 13.3.5

$\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Passaggio 13.3.6

$u^{\frac{7}{2}}$ e $\frac{2}{7}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{u^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{7})) + C$

Passaggio 13.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $u^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot u^{\frac{7}{2}}}{7})) + C$

Passaggio 13.3.8

Per scrivere $\frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})) \cdot \frac{3}{3} + C$

Passaggio 13.3.9

$\frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}))$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{\frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})) \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 13.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})) \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 13.3.11

$\frac{4}{3}$ e $3$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{4 \cdot 3}{3}}{3} + C$

Passaggio 13.3.12

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{12}{3}}{3} + C$

Passaggio 13.3.13

Elimina il fattore comune di $12$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.13.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{3 \cdot 4}{3}}{3} + C$

Passaggio 13.3.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.13.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{3 \cdot 4}{3 (1)}}{3} + C$

Passaggio 13.3.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1}}{3} + C$

Passaggio 13.3.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{4}{1}}{3} + C$

Passaggio 13.3.13.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot 4}{3} + C$

Passaggio 13.3.14

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - 4 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - 4 (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} (- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - 4 (\frac{2}{5} {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} {(1 - x)}^{\frac{7}{2}})) + C$