Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 3 x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6 x^{2} - 3 x] - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 6 x^{2} - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \cdot 1) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.11

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.12.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.12.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) + (- 2 x^{3} - 2 (6 x^{2}) - 2 (- 3 x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Espandi $(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.2.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{2 + 2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.2.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.2.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.5

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.6

Moltiplica $3 x^{2}$ per $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.7

Moltiplica $12 x$ per $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.8

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Combina i termini opposti in $3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.3.1

Somma $- 3 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 0 + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.3.2

Somma $3 x^{4} + 12 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.4

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x \cdot x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x^{1} x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{1 + 3} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.4.3

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x \cdot x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x^{1} x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{1 + 2}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{3}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.6

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.7.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.8

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Combina i termini opposti in $3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Sottrai $12 x^{3}$ da $12 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 0 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Somma $3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4}$ e $0$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.3

Sottrai $2 x^{4}$ da $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} + 12 x - 3 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Riordina i termini.

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.7

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.10

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 + 0) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.11

Somma $4 x^{3} + 12 x + 12$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2.2

Scomponi $x^{2} + 1$ da $- 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2.3

Scomponi $x^{2} + 1$ da $(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.5.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 4 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) + (- 4 x^{4} - 4 (6 x^{2}) - 4 (12 x) - 4 \cdot - 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.1

Espandi $(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.2.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.2.3

Somma $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{2} x + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.2.4.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.2.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.5

Sposta $12$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 \cdot x^{2} + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.6

Moltiplica $4 x^{3}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 x^{2} + 4 x^{3} + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.7

Moltiplica $12 x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 x^{2} + 4 x^{3} + 12 x + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.8

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 x^{2} + 4 x^{3} + 12 x + 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.3

Somma $12 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.4

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{1 + 4} - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.4.3

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 (x \cdot x^{2})) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 (x \cdot x^{2})) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 x^{1 + 2}) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 x^{3}) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.6

Moltiplica $6$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.7.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 4 (12 (x \cdot x)) - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 4 (12 x^{2}) - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.8

Moltiplica $12$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 48 x^{2} - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.9

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.2

Combina i termini opposti in $4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.2.1

Sottrai $4 x^{5}$ da $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 + 0 - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.2.2

Somma $16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.3

Sottrai $24 x^{3}$ da $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.4

Sottrai $48 x^{2}$ da $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{3} - 36 x^{2} + 12 x + 12 + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.5

Somma $12 x$ e $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{3} - 36 x^{2} + 24 x + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.4

Scomponi $4$ da $- 8 x^{3} - 36 x^{2} + 24 x + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.4.1

Scomponi $4$ da $- 8 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) - 36 x^{2} + 24 x + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.4.2

Scomponi $4$ da $- 36 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 24 x + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.4.3

Scomponi $4$ da $24 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (6 x) + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.4.4

Scomponi $4$ da $12$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (6 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.4.5

Scomponi $4$ da $4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (6 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.4.6

Scomponi $4$ da $4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (6 x)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.4.7

Scomponi $4$ da $4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x) + 4 (3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.5

Scomponi $- 1$ da $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3}) - 9 x^{2} + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.6

Scomponi $- 1$ da $- 9 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3}) - (9 x^{2}) + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.7

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{3}) - (9 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2}) + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.8

Scomponi $- 1$ da $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2}) - (- 6 x) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.9

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{3} + 9 x^{2}) - (- 6 x)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.10

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x) - 1 \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.11

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.12

Riscrivi $- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3)$ come $- 1 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 1 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6 x^{2} - 3 x] - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 6 x^{2} - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \cdot 1) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.11

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.12.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.12.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) + (- 2 x^{3} - 2 (6 x^{2}) - 2 (- 3 x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.1

Espandi $(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.2.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{2 + 2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.2.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.2.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2.5

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2.6

Moltiplica $3 x^{2}$ per $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2.7

Moltiplica $12 x$ per $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2.8

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.3

Combina i termini opposti in $3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.3.1

Somma $- 3 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 0 + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.3.2

Somma $3 x^{4} + 12 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.4

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x \cdot x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x^{1} x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{1 + 3} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.4.3

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x \cdot x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x^{1} x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{1 + 2}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{3}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.6

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.7.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.8

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.2

Combina i termini opposti in $3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.2.1

Sottrai $12 x^{3}$ da $12 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 0 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.2.2

Somma $3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4}$ e $0$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.3

Sottrai $2 x^{4}$ da $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} + 12 x - 3 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - 1.61201265, 0.2245718$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 1.61201265, 0.2245718$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 1.61201265$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{4 (2 {(- 1.61201265)}^{3} + 9 {(- 1.61201265)}^{2} - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva $- 1.61201265$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{4 (2 \cdot - 4.18895161 + 9 {(- 1.61201265)}^{2} - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $2$ per $- 4.18895161$ .

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 9 {(- 1.61201265)}^{2} - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.1.3

Eleva $- 1.61201265$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 9 \cdot 2.59858481 - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $9$ per $2.59858481$ .

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 23.38726331 - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $- 6$ per $- 1.61201265$ .

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 23.38726331 + 9.67207595 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.1.6

Somma $- 8.37790322$ e $23.38726331$ .

$- \frac{4 (15.00936008 + 9.67207595 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7

Somma $15.00936008$ e $9.67207595$ .

$- \frac{4 (24.68143604 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.1.8

Sottrai $3$ da $24.68143604$ .

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Eleva $- 1.61201265$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{{(2.59858481 + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2

Somma $2.59858481$ e $1$ .

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{{3.59858481}^{3}}$

Passaggio 9.2.3

Eleva $3.59858481$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{46.60099914}$

Passaggio 9.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $4$ per $21.68143604$ .

$- \frac{86.72574416}{46.60099914}$

Passaggio 9.3.2

Dividi $86.72574416$ per $46.60099914$ .

$- 1 \cdot 1.86102756$

Passaggio 9.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1.86102756$ .

$- 1.86102756$

Passaggio 10

$x = - 1.61201265$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1.61201265$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 1.61201265$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.61201265$ nell'espressione.

$f (- 1.61201265) = \frac{{(- 1.61201265)}^{3} + 6 {(- 1.61201265)}^{2} - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $- 1.61201265$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 6 {(- 1.61201265)}^{2} - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Passaggio 11.2.1.2

Eleva $- 1.61201265$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 6 \cdot 2.59858481 - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $6$ per $2.59858481$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 15.59150887 - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 1.61201265$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 15.59150887 + 4.83603797}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Passaggio 11.2.1.5

Somma $- 4.18895161$ e $15.59150887$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{11.40255726 + 4.83603797}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Passaggio 11.2.1.6

Somma $11.40255726$ e $4.83603797$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{16.23859524}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Eleva $- 1.61201265$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{16.23859524}{2.59858481 + 1}$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $2.59858481$ e $1$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{16.23859524}{3.59858481}$

Passaggio 11.2.3

Dividi $16.23859524$ per $3.59858481$ .

$f (- 1.61201265) = 4.51249479$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $4.51249479$ .

$y = 4.51249479$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 0.2245718$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{4 (2 {(0.2245718)}^{3} + 9 {(0.2245718)}^{2} - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({(0.2245718)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $0.2245718$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{4 (2 \cdot 0.01132571 + 9 \cdot {0.2245718}^{2} - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $2$ per $0.01132571$ .

$- \frac{4 (0.02265143 + 9 \cdot {0.2245718}^{2} - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.3

Eleva $0.2245718$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{4 (0.02265143 + 9 \cdot 0.05043249 - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.4

Moltiplica $9$ per $0.05043249$ .

$- \frac{4 (0.02265143 + 0.45389244 - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.5

Moltiplica $- 6$ per $0.2245718$ .

$- \frac{4 (0.02265143 + 0.45389244 - 1.3474308 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.6

Somma $0.02265143$ e $0.45389244$ .

$- \frac{4 (0.47654387 - 1.3474308 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.7

Sottrai $1.3474308$ da $0.47654387$ .

$- \frac{4 (- 0.87088692 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.8

Sottrai $3$ da $- 0.87088692$ .

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Eleva $0.2245718$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{{(0.05043249 + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.2.2

Somma $0.05043249$ e $1$ .

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{{1.05043249}^{3}}$

Passaggio 13.2.3

Eleva $1.05043249$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{1.15905606}$

Passaggio 13.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Moltiplica $4$ per $- 3.87088692$ .

$- \frac{- 15.48354771}{1.15905606}$

Passaggio 13.3.2

Dividi $- 15.48354771$ per $1.15905606$ .

$- - 13.35875651$

Passaggio 13.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 13.35875651$ .

$13.35875651$

Passaggio 14

$x = 0.2245718$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0.2245718$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 0.2245718$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.2245718$ nell'espressione.

$f (0.2245718) = \frac{{(0.2245718)}^{3} + 6 {(0.2245718)}^{2} - 3 \cdot 0.2245718}{{(0.2245718)}^{2} + 1}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $0.2245718$ alla potenza di $3$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 6 \cdot {0.2245718}^{2} - 3 \cdot 0.2245718}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $0.2245718$ alla potenza di $2$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 6 \cdot 0.05043249 - 3 \cdot 0.2245718}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Passaggio 15.2.1.3

Moltiplica $6$ per $0.05043249$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 0.30259496 - 3 \cdot 0.2245718}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $0.2245718$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 0.30259496 - 0.6737154}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Passaggio 15.2.1.5

Somma $0.01132571$ e $0.30259496$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.31392067 - 0.6737154}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Passaggio 15.2.1.6

Sottrai $0.6737154$ da $0.31392067$ .

$f (0.2245718) = \frac{- 0.35979472}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Eleva $0.2245718$ alla potenza di $2$ .

$f (0.2245718) = \frac{- 0.35979472}{0.05043249 + 1}$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $0.05043249$ e $1$ .

$f (0.2245718) = \frac{- 0.35979472}{1.05043249}$

Passaggio 15.2.3

Dividi $- 0.35979472$ per $1.05043249$ .

$f (0.2245718) = - 0.34252055$

Passaggio 15.2.4

La risposta finale è $- 0.34252055$ .

$y = - 0.34252055$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x}{x^{2} + 1}$ .

$(- 1.61201265, 4.51249479)$ è un massimo locale

$(0.2245718, - 0.34252055)$ è un minimo locale

Passaggio 17