Calcolo Esempi

$2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$

Passaggio 1

Scrivi $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ come funzione.

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.2.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ e $0$ .

$f' (x) = 6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin^{2} (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.5

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.6

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.6.1

Sposta $\sin (x)$ .

$6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.6.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.6.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$6 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.7

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\sin^{3} (x)$ .

$6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.8

Riscrivi $- 1 \sin^{3} (x)$ come $- \sin^{3} (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.9

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.10

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.2.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 (- \sin^{3} (x)) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Passaggio 2.2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Passaggio 2.2.4.2.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$

Passaggio 2.2.4.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $3 \sin (x)$ da $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $3 \sin (x)$ da $12 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $3 \sin (x)$ da $- 6 \sin^{3} (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $3 \sin (x)$ da $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 3.2.4

Scomponi $3 \sin (x)$ da $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 3.2.5

Scomponi $3 \sin (x)$ da $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.4.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 3.4.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 3.4.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.4.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.4.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.4.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.5

Imposta $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ uguale a $0$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Sostituisci $4 \cos^{2} (x)$ con $4 (1 - \sin^{2} (x))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.5.2.2.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.5.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1

Sottrai $1$ da $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Passaggio 3.5.2.3.2

Sottrai $2 \sin^{2} (x)$ da $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Passaggio 3.5.2.4

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 \sin^{2} (x) = - 3$

Passaggio 3.5.2.5

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.5.1

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ .

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Passaggio 3.5.2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Passaggio 3.5.2.5.2.1.2

Dividi $\sin^{2} (x)$ per $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 6}$

Passaggio 3.5.2.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.5.3.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.5.3.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 (1)}{- 6}$

Passaggio 3.5.2.5.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.5.3.1.2.1

Scomponi $- 3$ da $- 6$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Passaggio 3.5.2.5.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Passaggio 3.5.2.5.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.2.6

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.5.2.7

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.7.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.5.2.7.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.5.2.7.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.5.2.7.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.7.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.5.2.7.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.5.2.7.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 3.5.2.7.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.5.2.7.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.7.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.7.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.7.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.5.2.7.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.5.2.7.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.7.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.5.2.7.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 3.5.2.7.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.5.2.8

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.8.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.5.2.8.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.5.2.8.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.5.2.9

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.5.2.10

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.10.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 3.5.2.10.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.10.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 3.5.2.10.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{4}$

Passaggio 3.5.2.10.4

Semplifica $π - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.10.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 3.5.2.10.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.10.4.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 3.5.2.10.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 3.5.2.10.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.10.4.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 3.5.2.10.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 3.5.2.10.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.10.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.5.2.10.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.5.2.10.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.5.2.10.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.5.2.10.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.5.2.11

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.11.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 3.5.2.11.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.11.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 3.5.2.11.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Passaggio 3.5.2.11.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.11.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Passaggio 3.5.2.11.4.2

L'angolo risultante di $\frac{5 π}{4}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 3.5.2.11.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.11.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.5.2.11.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.5.2.11.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.5.2.11.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.5.2.11.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.11.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Passaggio 3.5.2.11.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 3.5.2.11.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.11.6.3.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 3.5.2.11.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 3.5.2.11.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.11.6.4.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 3.5.2.11.6.4.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Passaggio 3.5.2.11.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 3.5.2.11.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.5.2.12

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.5.2.13

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$ vera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.7

Combina $2 π n$ e $π + 2 π n$ in $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il punto trovato sostituendo in $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ è $(,)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(,)$

Passaggio 4.2

Sostituisci $\frac{π}{4}$ in $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin^{3} (\frac{π}{4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Passaggio 4.2.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Passaggio 4.2.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Passaggio 4.2.2.1.3.3

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.3.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Passaggio 4.2.2.1.3.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Passaggio 4.2.2.1.3.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Passaggio 4.2.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{8}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Passaggio 4.2.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.5.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 (4)}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Passaggio 4.2.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Passaggio 4.2.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Passaggio 4.2.2.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.6.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Passaggio 4.2.2.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.6.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Passaggio 4.2.2.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Passaggio 4.2.2.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Passaggio 4.2.2.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2$

Passaggio 4.2.2.1.8

$3$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 2$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $\sqrt{2}$ e $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $4 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2.4

Dividi $2 \sqrt{2}$ per $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.2.2.3

La risposta finale è $2 + 2 \sqrt{2}$ .

$2 + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.3

Il punto trovato sostituendo $\frac{π}{4}$ in $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ è $(\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Passaggio 4.4

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty,) \cup (, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty,)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = 12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

Passaggio 6.2

La risposta finale è $12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$ .

$12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

Passaggio 6.3

Per $- 0.1$ , la derivata seconda è $- 0.88059055$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty,)$ .

Decrescente su $(- \infty,)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(, \frac{π}{4})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.39269908$ nell'espressione.

$f'' (0.39269908) = 12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

Passaggio 7.2

La risposta finale è $12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$ .

$12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.39269908$ , la derivata seconda è $2.43538245$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(, \frac{π}{4})$ .

Crescente su $(, \frac{π}{4})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{π}{4}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.88539816$ nell'espressione.

$f'' (0.88539816) = 12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

Passaggio 8.2

La risposta finale è $12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$ .

$12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

Passaggio 8.3

Per $0.88539816$ , la derivata seconda è $- 1.38422929$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(\frac{π}{4}, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{π}{4}, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Passaggio 10