Calcolo Esempi

$\log_{5} (1 + x^{2})$

Passaggio 1

Scrivi $\log_{5} (1 + x^{2})$ come funzione.

$f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log_{5} (x)$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.2

La derivata di $\log_{5} (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (2 x)$

Passaggio 2.1.2.5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

$2$ e $\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ .

$\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)} x$

Passaggio 2.1.2.5.2

$\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x}{1 \ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

Passaggio 2.1.3.2

Moltiplica $\ln (5)$ per $1$ .

$\frac{2 x}{\ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

Passaggio 2.1.3.3

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} \ln (5) + \ln (5)$ .

$2 \frac{(x^{2} \ln (5) + \ln (5)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (5) + \ln (5)]}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} \ln (5) + \ln (5)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (5) + \ln (5)]}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica $x^{2} \ln (5) + \ln (5)$ per $1$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (5) + \ln (5)]}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} \ln (5) + \ln (5)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x (\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [\ln (5)])}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.4

Poiché $\ln (5)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} \ln (5)$ rispetto a $x$ è $\ln (5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x (\ln (5) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (5)])}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x (\ln (5) (2 x) + \frac{d}{d x} [\ln (5)])}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (5)$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x (2 \cdot \ln (5) x + \frac{d}{d x} [\ln (5)])}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.7

Poiché $\ln (5)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\ln (5)$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x (2 \ln (5) x + 0)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.8.1

Somma $2 \ln (5) x$ e $0$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x (2 \ln (5) x)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - 2 x (\ln (5) x)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - 2 (x^{1} x) \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - 2 (x^{1} x^{1}) \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - 2 x^{1 + 1} \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.7

Somma $1$ e $1$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - 2 x^{2} \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.8

Sottrai $2 x^{2} \ln (5)$ da $x^{2} \ln (5)$ .

$2 \frac{- x^{2} \ln (5) + \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.9

$2$ e $\frac{- x^{2} \ln (5) + \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} \ln (5) + \ln (5))}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} \ln (5)) + 2 \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.10.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.2.1.1

Moltiplica $2 (- x^{2} \ln (5))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 (x^{2} \ln (5)) + 2 \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.10.2.1.1.2

Semplifica $- 2 \ln (5)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{x^{2} (- \ln (5^{2})) + 2 \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.10.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{x^{2} (- \ln (25)) + 2 \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.10.2.1.3

Semplifica $2 \ln (5)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{x^{2} (- \ln (25)) + \ln (5^{2})}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.10.2.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{x^{2} (- \ln (25)) + \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.10.2.2

Riordina i fattori in $x^{2} (- \ln (25)) + \ln (25)$ .

$\frac{- x^{2} \ln (25) + \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.10.3

Scomponi $- 1$ da $- x^{2} \ln (25)$ .

$\frac{- (x^{2} \ln (25)) + \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.10.4

Scomponi $- 1$ da $\ln (25)$ .

$\frac{- (x^{2} \ln (25)) - 1 (- \ln (25))}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.10.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} \ln (25)) - 1 (- \ln (25))$ .

$\frac{- (x^{2} \ln (25) - \ln (25))}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.10.6

Riscrivi $- (x^{2} \ln (25) - \ln (25))$ come $- 1 (x^{2} \ln (25) - \ln (25))$ .

$\frac{- 1 (x^{2} \ln (25) - \ln (25))}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.2.10.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{x^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{x^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x^{2} \ln (25) - \ln (25) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Somma $\ln (25)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} \ln (25) = \ln (25)$

Passaggio 3.3.2

Dividi per $\ln (25)$ ciascun termine in $x^{2} \ln (25) = \ln (25)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Dividi per $\ln (25)$ ciascun termine in $x^{2} \ln (25) = \ln (25)$ .

$\frac{x^{2} \ln (25)}{\ln (25)} = \frac{\ln (25)}{\ln (25)}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (25)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \ln (25)}{\ln (25)} = \frac{\ln (25)}{\ln (25)}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{\ln (25)}{\ln (25)}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elimina il fattore comune di $\ln (25)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{\ln (25)}{\ln (25)}$

Passaggio 3.3.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = 1$

Passaggio 3.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 3.3.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 3.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $1$ in $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \log_{5} (1 + {(1)}^{2})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \log_{5} (1 + 1)$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (1) = \log_{5} (2)$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $\log_{5} (2)$ .

$\log_{5} (2)$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $1$ in $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ è $(1, \log_{5} (2))$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(1, \log_{5} (2))$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- 1$ in $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \log_{5} (1 + {(- 1)}^{2})$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = \log_{5} (1 + 1)$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (- 1) = \log_{5} (2)$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $\log_{5} (2)$ .

$\log_{5} (2)$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $- 1$ in $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ è $(- 1, \log_{5} (2))$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 1, \log_{5} (2))$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(1, \log_{5} (2)), (- 1, \log_{5} (2))$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.1$ nell'espressione.

$f'' (- 1.1) = - \frac{{(- 1.1)}^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{({(- 1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{1.21 \ln (25) - \ln (25)}{{({(- 1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Semplifica $1.21 \ln (25)$ spostando $1.21$ all'interno del logaritmo.

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (25^{1.21}) - \ln (25)}{{({(- 1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $25$ alla potenza di $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (49.14817664) - \ln (25)}{{({(- 1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.4

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (\frac{49.14817664}{25})}{{({(- 1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.5

Dividi $49.14817664$ per $25$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{({(- 1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{(1.21 \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica $1.21 \ln (5)$ spostando $1.21$ all'interno del logaritmo.

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{(\ln (5^{1.21}) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{(\ln (7.01057605) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.4

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (7.01057605 \cdot 5)}$

Passaggio 6.2.2.5

Moltiplica $7.01057605$ per $5$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (35.05288028)}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (35.05288028)}$ .

$- \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (35.05288028)}$

Passaggio 6.3

Per $- 1.1$ , la derivata seconda è $- 0.05343065$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - \frac{{(0)}^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{({(0)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0 \ln (25) - \ln (25)}{{(0^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $0$ per $\ln (25)$ .

$f'' (0) = - \frac{0 - \ln (25)}{{(0^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Sottrai $\ln (25)$ da $0$ .

$f'' (0) = - \frac{- \ln (25)}{{(0^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - \frac{- \ln (25)}{{(0 \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $0$ per $\ln (5)$ .

$f'' (0) = - \frac{- \ln (25)}{{(0 + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Somma $0$ e $\ln (5)$ .

$f'' (0) = - \frac{- \ln (25)}{\ln^{2} (5)}$

Passaggio 7.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (0) = \frac{\ln (25)}{\ln^{2} (5)}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $\frac{\ln (25)}{\ln^{2} (5)}$ .

$\frac{\ln (25)}{\ln^{2} (5)}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0$ , la derivata seconda è $1.24266986$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 1, 1)$ .

Crescente su $(- 1, 1)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.1$ nell'espressione.

$f'' (1.1) = - \frac{{(1.1)}^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{({(1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.1) = - \frac{1.21 \ln (25) - \ln (25)}{{({1.1}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Semplifica $1.21 \ln (25)$ spostando $1.21$ all'interno del logaritmo.

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (25^{1.21}) - \ln (25)}{{({1.1}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $25$ alla potenza di $1.21$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (49.14817664) - \ln (25)}{{({1.1}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.4

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (\frac{49.14817664}{25})}{{({1.1}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.5

Dividi $49.14817664$ per $25$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{({1.1}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{(1.21 \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Semplifica $1.21 \ln (5)$ spostando $1.21$ all'interno del logaritmo.

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{(\ln (5^{1.21}) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $1.21$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{(\ln (7.01057605) + \ln (5))}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.4

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (7.01057605 \cdot 5)}$

Passaggio 8.2.2.5

Moltiplica $7.01057605$ per $5$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (35.05288028)}$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (35.05288028)}$ .

$- \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (35.05288028)}$

Passaggio 8.3

Per $1.1$ , la derivata seconda è $- 0.05343065$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(1, \infty)$ .

Decrescente su $(1, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 1, \log_{5} (2)), (1, \log_{5} (2))$ .

$(- 1, \log_{5} (2)), (1, \log_{5} (2))$

Passaggio 10