Calcolo Esempi

$9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$

Passaggio 1

Scrivi $9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$ come funzione.

$f (x) = 9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$9 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$9 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$9 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.2.5

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$- 18 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 18 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.1.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \cos (x)$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 18 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 18 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 18 \cos (x) \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18 \cos (x) \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 18 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 18 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$- 18 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- 18 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- 18 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.5

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 18 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 18 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 18 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.10

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 18 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- 18 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 18 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.2.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 18 (- \sin (x))$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 18$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 18 \sin (x)$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 18 \cos^{2} (x) - 18 (- \sin^{2} (x)) + 18 \sin (x)$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 18$ .

$f'' (x) = - 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x)$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x)$ .

$- 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x)$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

Passaggio 3.2

Sostituisci $- 18 \cos^{2} (x)$ con $- 18 (1 - \sin^{2} (x))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 18 (1 - \sin^{2} (x)) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

Passaggio 3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 18 \cdot 1 - 18 (- \sin^{2} (x)) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $- 18$ per $1$ .

$- 18 - 18 (- \sin^{2} (x)) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 18$ .

$- 18 + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

Passaggio 3.4

Somma $18 \sin^{2} (x)$ e $18 \sin^{2} (x)$ .

$- 18 + 36 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

Passaggio 3.5

Riordina il polinomio.

$36 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) - 18 = 0$

Passaggio 3.6

Sostituisci $u$ a $\sin (x)$ .

$36 {(u)}^{2} + 18 (u) - 18 = 0$

Passaggio 3.7

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Scomponi $18$ da $36 u^{2} + 18 u - 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Scomponi $18$ da $36 u^{2}$ .

$18 (2 u^{2}) + 18 u - 18 = 0$

Passaggio 3.7.1.2

Scomponi $18$ da $18 u$ .

$18 (2 u^{2}) + 18 u - 18 = 0$

Passaggio 3.7.1.3

Scomponi $18$ da $- 18$ .

$18 (2 u^{2}) + 18 u + 18 (- 1) = 0$

Passaggio 3.7.1.4

Scomponi $18$ da $18 (2 u^{2}) + 18 u$ .

$18 (2 u^{2} + u) + 18 (- 1) = 0$

Passaggio 3.7.1.5

Scomponi $18$ da $18 (2 u^{2} + u) + 18 (- 1)$ .

$18 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Passaggio 3.7.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$18 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Passaggio 3.7.2.1.1.2

Riscrivi $1$ come $- 1$ più $2$ .

$18 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Passaggio 3.7.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$18 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Passaggio 3.7.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$18 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Passaggio 3.7.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$18 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Passaggio 3.7.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 1$ .

$18 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Passaggio 3.7.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$18 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Passaggio 3.8

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 3.9

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Passaggio 3.9.2

Risolvi $2 u - 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = 1$

Passaggio 3.9.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.9.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.9.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.10

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 3.10.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 3.11

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $18 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ vera.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Passaggio 3.12

Sostituisci $\sin (x)$ a $u$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Passaggio 3.13

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Passaggio 3.14

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.14.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 3.14.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.14.4

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.14.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.4.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.14.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 3.14.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.4.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 3.14.4.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 3.14.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.14.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.14.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.14.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.14.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.15

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 3.15.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.15.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 3.15.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 3.15.4.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.15.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.15.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.15.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.15.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.15.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 3.15.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.15.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.6.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.15.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 3.15.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.6.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 3.15.6.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.15.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.15.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.16

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.17

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $\frac{π}{6}$ in $f (x) = 9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = 9 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.3.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3}{4}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $9 (\frac{3}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.5.1

$9$ e $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{9 \cdot 3}{4} - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.5.2

Moltiplica $9$ per $3$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} - 18 (\frac{1}{2})$

Passaggio 4.1.2.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.7.1

Scomponi $2$ da $- 18$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{1}{2})$

Passaggio 4.1.2.1.7.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{1}{2}))$

Passaggio 4.1.2.1.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} - 9$

Passaggio 4.1.2.2

Per scrivere $- 9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 4.1.2.3

$- 9$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}$

Passaggio 4.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27 - 9 \cdot 4}{4}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $- 9$ per $4$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27 - 36}{4}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Sottrai $36$ da $27$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{- 9}{4}$

Passaggio 4.1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{π}{6}) = - \frac{9}{4}$

Passaggio 4.1.2.7

La risposta finale è $- \frac{9}{4}$ .

$- \frac{9}{4}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{π}{6}$ in $f (x) = 9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$ è $(\frac{π}{6}, - \frac{9}{4})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{π}{6}, - \frac{9}{4})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{6})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.42359877$ nell'espressione.

$f'' (0.42359877) = - 18 \cos^{2} (0.42359877) + 18 \sin^{2} (0.42359877) + 18 \sin (0.42359877)$

Passaggio 6.2

La risposta finale è $- 18 \cos^{2} (0.42359877) + 18 \sin^{2} (0.42359877) + 18 \sin (0.42359877)$ .

$- 18 \cos^{2} (0.42359877) + 18 \sin^{2} (0.42359877) + 18 \sin (0.42359877)$

Passaggio 6.3

Per $0.42359877$ , la derivata seconda è $- 4.51875903$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{6})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{π}{6})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{π}{6}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.62359877$ nell'espressione.

$f'' (0.62359877) = - 18 \cos^{2} (0.62359877) + 18 \sin^{2} (0.62359877) + 18 \sin (0.62359877)$

Passaggio 7.2

La risposta finale è $- 18 \cos^{2} (0.62359877) + 18 \sin^{2} (0.62359877) + 18 \sin (0.62359877)$ .

$- 18 \cos^{2} (0.62359877) + 18 \sin^{2} (0.62359877) + 18 \sin (0.62359877)$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.62359877$ , la derivata seconda è $4.7876356$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{π}{6}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{π}{6}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(\frac{π}{6}, - \frac{9}{4})$ .

$(\frac{π}{6}, - \frac{9}{4})$

Passaggio 9