Calcolo Esempi

$20 e^{x} - e^{2 x}$

Passaggio 1

Scrivi $20 e^{x} - e^{2 x}$ come funzione.

$f (x) = 20 e^{x} - e^{2 x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 e^{x} - e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [20 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [20 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 e^{x}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$20 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$20 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$20 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$20 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$20 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.1.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$20 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Passaggio 2.1.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$20 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Passaggio 2.1.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$20 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Passaggio 2.1.3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 20 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 e^{x} - 2 e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [20 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [20 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 e^{x}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$20 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$20 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$20 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.2.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$20 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$20 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$20 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Passaggio 2.2.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$20 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Passaggio 2.2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$20 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Passaggio 2.2.3.7

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 20 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $20 e^{x} - 4 e^{2 x}$ .

$20 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $20 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$20 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi $e^{2 x}$ come ${(e^{x})}^{2}$ .

$20 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.2

Sia $u = e^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{x}$ con $u$ .

$20 u - 4 u^{2} = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $4 u$ da $20 u - 4 u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Scomponi $4 u$ da $20 u$ .

$4 u (5) - 4 u^{2} = 0$

Passaggio 3.2.3.2

Scomponi $4 u$ da $- 4 u^{2}$ .

$4 u (5) + 4 u (- u) = 0$

Passaggio 3.2.3.3

Scomponi $4 u$ da $4 u (5) + 4 u (- u)$ .

$4 u (5 - u) = 0$

Passaggio 3.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x}$ .

$4 e^{x} (5 - e^{x}) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$5 - e^{x} = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 3.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 3.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 3.5

Imposta $5 - e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $5 - e^{x}$ uguale a $0$ .

$5 - e^{x} = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $5 - e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- e^{x} = - 5$

Passaggio 3.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{x} = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{x} = - 5$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 3.5.2.2.2.2

Dividi $e^{x}$ per $1$ .

$e^{x} = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 3.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.3.1

Dividi $- 5$ per $- 1$ .

$e^{x} = 5$

Passaggio 3.5.2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (5)$

Passaggio 3.5.2.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (5)$

Passaggio 3.5.2.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5)$

Passaggio 3.5.2.4.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (5)$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 e^{x} (5 - e^{x}) = 0$ vera.

$x = \ln (5)$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $\ln (5)$ in $f (x) = 20 e^{x} - e^{2 x}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\ln (5)$ nell'espressione.

$f (\ln (5)) = 20 e^{\ln (5)} - e^{2 (\ln (5))}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (5)) = 20 \cdot 5 - e^{2 (\ln (5))}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $20$ per $5$ .

$f (\ln (5)) = 100 - e^{2 (\ln (5))}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Semplifica $2 (\ln (5))$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (\ln (5)) = 100 - e^{\ln (5^{2})}$

Passaggio 4.1.2.1.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (5)) = 100 - 5^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (\ln (5)) = 100 - 1 \cdot 25$

Passaggio 4.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$f (\ln (5)) = 100 - 25$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $25$ da $100$ .

$f (\ln (5)) = 75$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $75$ .

$75$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $\ln (5)$ in $f (x) = 20 e^{x} - e^{2 x}$ è $(\ln (5), 75)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\ln (5), 75)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \ln (5)) \cup (\ln (5), \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \ln (5))$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.50943791$ nell'espressione.

$f'' (1.50943791) = 20 e^{1.50943791} - 4 e^{2 (1.50943791)}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $2$ per $1.50943791$ .

$f'' (1.50943791) = 20 e^{1.50943791} - 4 e^{3.01887582}$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $20 e^{1.50943791} - 4 e^{3.01887582}$ .

$20 e^{1.50943791} - 4 e^{3.01887582}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $1.50943791$ , la derivata seconda è $8.61066649$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, \ln (5))$ .

Crescente su $(- \infty, \ln (5))$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\ln (5), \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.70943791$ nell'espressione.

$f'' (1.70943791) = 20 e^{1.70943791} - 4 e^{2 (1.70943791)}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $2$ per $1.70943791$ .

$f'' (1.70943791) = 20 e^{1.70943791} - 4 e^{3.41887582}$

Passaggio 7.2.2

La risposta finale è $20 e^{1.70943791} - 4 e^{3.41887582}$ .

$20 e^{1.70943791} - 4 e^{3.41887582}$

Passaggio 7.3

Per $1.70943791$ , la derivata seconda è $- 11.623184$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(\ln (5), \infty)$ .

Decrescente su $(\ln (5), \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(\ln (5), 75)$ .

$(\ln (5), 75)$

Passaggio 9